Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 28588 / 4516
↖ ↑ ↗
← N 78.269270°
E134.077148°		 ← 248.37 m → N 78.269270°
E134.088135°		 →
↑
248.41 m
↓
↑
248.41 m
↓
N 78.267036°
E134.077148°		 ← 248.42 m →
61 703 m²		 N 78.267036°
E134.088135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872451782226562 y=0.137832641601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872451782226562 × 215)
    floor (0.872451782226562 × 32768)
    floor (28588.5)     		tx = 28588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137832641601562 × 215)
    floor (0.137832641601562 × 32768)
    floor (4516.5)     		ty = 4516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28588 / 4516 ti = "15/28588/4516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28588/4516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28588 ÷ 215
    28588 ÷ 32768     		x = 0.8724365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4516 ÷ 215
    4516 ÷ 32768     		y = 0.1378173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8724365234375 × 2 - 1) × π
    0.744873046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.34008769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1378173828125 × 2 - 1) × π
    0.724365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27566049876331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34008769} λ = 2.34008769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27566049876331))-π/2
    2×atan(9.73434641344872)-π/2
    2×1.46842639727694-π/2
    2.93685279455388-1.57079632675     		φ = 1.36605647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34008769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.077148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36605647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.269270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28588 KachelY 4516 2.34008769 1.36605647 134.077148 78.269270
    Oben rechts KachelX + 1 28589 KachelY 4516 2.34027944 1.36605647 134.088135 78.269270
    Unten links KachelX 28588 KachelY + 1 4517 2.34008769 1.36601748 134.077148 78.267036
    Unten rechts KachelX + 1 28589 KachelY + 1 4517 2.34027944 1.36601748 134.088135 78.267036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36605647-1.36601748) × R
    3.8989999999961e-05 × 6371000     		dl = 248.405289999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36605647-1.36601748) × R
    3.8989999999961e-05 × 6371000     		dr = 248.405289999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34008769-2.34027944) × cos(1.36605647) × R
    0.000191750000000379 × 0.203312456956995 × 6371000     		do = 248.374477433091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34008769-2.34027944) × cos(1.36601748) × R
    0.000191750000000379 × 0.203350632453718 × 6371000     		du = 248.421114118277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36605647)-sin(1.36601748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203312456956995-0.203350632453718)×R²
    abs(2.34027944-2.34008769)×3.81754967235248e-05×R²
    0.000191750000000379×3.81754967235248e-05×6371000²
    0.000191750000000379×3.81754967235248e-05×40589641000000     		ar = 61703.3265027083m²