Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28586 / 8853
↖ ↑ ↗
← N 78.467512°
W 22.972412°		 ← 122.12 m → N 78.467512°
W 22.966919°		 →
↑
122.13 m
↓
↑
122.13 m
↓
N 78.466414°
W 22.972412°		 ← 122.14 m →
14 916 m²		 N 78.466414°
W 22.966919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436195373535156 y=0.135093688964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436195373535156 × 216)
    floor (0.436195373535156 × 65536)
    floor (28586.5)     		tx = 28586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135093688964844 × 216)
    floor (0.135093688964844 × 65536)
    floor (8853.5)     		ty = 8853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28586 / 8853 ti = "16/28586/8853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28586/8853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28586 ÷ 216
    28586 ÷ 65536     		x = 0.436187744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8853 ÷ 216
    8853 ÷ 65536     		y = 0.135086059570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436187744140625 × 2 - 1) × π
    -0.12762451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40094423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135086059570312 × 2 - 1) × π
    0.729827880859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.29282190882729
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40094423} λ = -0.40094423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29282190882729))-π/2
    2×atan(9.90284320989546)-π/2
    2×1.47015638286676-π/2
    2.94031276573352-1.57079632675     		φ = 1.36951644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40094423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.972412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36951644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.467512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28586 KachelY 8853 -0.40094423 1.36951644 -22.972412 78.467512
    Oben rechts KachelX + 1 28587 KachelY 8853 -0.40084835 1.36951644 -22.966919 78.467512
    Unten links KachelX 28586 KachelY + 1 8854 -0.40094423 1.36949727 -22.972412 78.466414
    Unten rechts KachelX + 1 28587 KachelY + 1 8854 -0.40084835 1.36949727 -22.966919 78.466414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36951644-1.36949727) × R
    1.91699999998463e-05 × 6371000     		dl = 122.13206999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36951644-1.36949727) × R
    1.91699999998463e-05 × 6371000     		dr = 122.13206999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40094423--0.40084835) × cos(1.36951644) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.199923542002585 × 6371000     		do = 122.123591519112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40094423--0.40084835) × cos(1.36949727) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.199942324952322 × 6371000     		du = 122.135065111758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36951644)-sin(1.36949727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199923542002585-0.199942324952322)×R²
    abs(-0.40084835--0.40094423)×1.87829497366732e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.87829497366732e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.87829497366732e-05×40589641000000     		ar = 14915.9076749987m²