Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 28586 / 4518
↖ ↑ ↗
← N 78.264802°
E134.055176°		 ← 248.45 m → N 78.264802°
E134.066162°		 →
↑
248.47 m
↓
↑
248.47 m
↓
N 78.262567°
E134.055176°		 ← 248.50 m →
61 739 m²		 N 78.262567°
E134.066162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872390747070312 y=0.137893676757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872390747070312 × 215)
    floor (0.872390747070312 × 32768)
    floor (28586.5)     		tx = 28586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137893676757812 × 215)
    floor (0.137893676757812 × 32768)
    floor (4518.5)     		ty = 4518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28586 / 4518 ti = "15/28586/4518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28586/4518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28586 ÷ 215
    28586 ÷ 32768     		x = 0.87237548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4518 ÷ 215
    4518 ÷ 32768     		y = 0.13787841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87237548828125 × 2 - 1) × π
    0.7447509765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.33970420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13787841796875 × 2 - 1) × π
    0.7242431640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27527700356635
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33970420} λ = 2.33970420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27527700356635))-π/2
    2×atan(9.7306140540703)-π/2
    2×1.46838740528119-π/2
    2.93677481056238-1.57079632675     		φ = 1.36597848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33970420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.055176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36597848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.264802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28586 KachelY 4518 2.33970420 1.36597848 134.055176 78.264802
    Oben rechts KachelX + 1 28587 KachelY 4518 2.33989594 1.36597848 134.066162 78.264802
    Unten links KachelX 28586 KachelY + 1 4519 2.33970420 1.36593948 134.055176 78.262567
    Unten rechts KachelX + 1 28587 KachelY + 1 4519 2.33989594 1.36593948 134.066162 78.262567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36597848-1.36593948) × R
    3.90000000001223e-05 × 6371000     		dl = 248.469000000779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36597848-1.36593948) × R
    3.90000000001223e-05 × 6371000     		dr = 248.469000000779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33970420-2.33989594) × cos(1.36597848) × R
    0.000191739999999996 × 0.203388817432284 × 6371000     		do = 248.454804484799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33970420-2.33989594) × cos(1.36593948) × R
    0.000191739999999996 × 0.203427002101496 × 6371000     		du = 248.501449942711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36597848)-sin(1.36593948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203388817432284-0.203427002101496)×R²
    abs(2.33989594-2.33970420)×3.81846692120436e-05×R²
    0.000191739999999996×3.81846692120436e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.81846692120436e-05×40589641000000     		ar = 61739.1117991685m²