Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28586 / 42457
↖ ↑ ↗
← S 46.893986°
W 22.972412°		 ← 417.43 m → S 46.893986°
W 22.966919°		 →
↑
417.36 m
↓
↑
417.36 m
↓
S 46.897739°
W 22.972412°		 ← 417.40 m →
174 212 m²		 S 46.897739°
W 22.966919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436195373535156 y=0.647850036621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436195373535156 × 216)
    floor (0.436195373535156 × 65536)
    floor (28586.5)     		tx = 28586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647850036621094 × 216)
    floor (0.647850036621094 × 65536)
    floor (42457.5)     		ty = 42457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28586 / 42457 ti = "16/28586/42457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28586/42457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28586 ÷ 216
    28586 ÷ 65536     		x = 0.436187744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42457 ÷ 216
    42457 ÷ 65536     		y = 0.647842407226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436187744140625 × 2 - 1) × π
    -0.12762451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40094423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647842407226562 × 2 - 1) × π
    -0.295684814453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.928921240837448
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40094423} λ = -0.40094423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.928921240837448))-π/2
    2×atan(0.394979568459642)-π/2
    2×0.37617094056877-π/2
    0.752341881137539-1.57079632675     		φ = -0.81845445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40094423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.972412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81845445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.893986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28586 KachelY 42457 -0.40094423 -0.81845445 -22.972412 -46.893986
    Oben rechts KachelX + 1 28587 KachelY 42457 -0.40084835 -0.81845445 -22.966919 -46.893986
    Unten links KachelX 28586 KachelY + 1 42458 -0.40094423 -0.81851996 -22.972412 -46.897739
    Unten rechts KachelX + 1 28587 KachelY + 1 42458 -0.40084835 -0.81851996 -22.966919 -46.897739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81845445--0.81851996) × R
    6.55100000001019e-05 × 6371000     		dl = 417.364210000649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81845445--0.81851996) × R
    6.55100000001019e-05 × 6371000     		dr = 417.364210000649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40094423--0.40084835) × cos(-0.81845445) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.683350414455665 × 6371000     		do = 417.425612028825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40094423--0.40084835) × cos(-0.81851996) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.683302584757456 × 6371000     		du = 417.396395186885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81845445)-sin(-0.81851996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683350414455665-0.683302584757456)×R²
    abs(-0.40084835--0.40094423)×4.78296982099335e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78296982099335e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78296982099335e-05×40589641000000     		ar = 174212.413828558m²