Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28586 / 22432
↖ ↑ ↗
← N 49.267804°
W 22.972412°		 ← 398.60 m → N 49.267804°
W 22.966919°		 →
↑
398.57 m
↓
↑
398.57 m
↓
N 49.264220°
W 22.972412°		 ← 398.62 m →
158 874 m²		 N 49.264220°
W 22.966919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436195373535156 y=0.342292785644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436195373535156 × 216)
    floor (0.436195373535156 × 65536)
    floor (28586.5)     		tx = 28586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342292785644531 × 216)
    floor (0.342292785644531 × 65536)
    floor (22432.5)     		ty = 22432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28586 / 22432 ti = "16/28586/22432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28586/22432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28586 ÷ 216
    28586 ÷ 65536     		x = 0.436187744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22432 ÷ 216
    22432 ÷ 65536     		y = 0.34228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436187744140625 × 2 - 1) × π
    -0.12762451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40094423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34228515625 × 2 - 1) × π
    0.3154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.990951588945801
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40094423} λ = -0.40094423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.990951588945801))-π/2
    2×atan(2.69379664019567)-π/2
    2×1.21534086570704-π/2
    2.43068173141409-1.57079632675     		φ = 0.85988540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40094423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.972412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85988540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.267804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28586 KachelY 22432 -0.40094423 0.85988540 -22.972412 49.267804
    Oben rechts KachelX + 1 28587 KachelY 22432 -0.40084835 0.85988540 -22.966919 49.267804
    Unten links KachelX 28586 KachelY + 1 22433 -0.40094423 0.85982284 -22.972412 49.264220
    Unten rechts KachelX + 1 28587 KachelY + 1 22433 -0.40084835 0.85982284 -22.966919 49.264220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85988540-0.85982284) × R
    6.25600000000448e-05 × 6371000     		dl = 398.569760000285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85988540-0.85982284) × R
    6.25600000000448e-05 × 6371000     		dr = 398.569760000285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40094423--0.40084835) × cos(0.85988540) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.652524312637287 × 6371000     		do = 398.595442110439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40094423--0.40084835) × cos(0.85982284) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.6525717173132 × 6371000     		du = 398.624399326879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85988540)-sin(0.85982284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652524312637287-0.6525717173132)×R²
    abs(-0.40084835--0.40094423)×4.74046759132429e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.74046759132429e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.74046759132429e-05×40589641000000     		ar = 158873.860486678m²