Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28585 / 8894
↖ ↑ ↗
← N 78.422398°
W 22.977905°		 ← 122.58 m → N 78.422398°
W 22.972412°		 →
↑
122.58 m
↓
↑
122.58 m
↓
N 78.421296°
W 22.977905°		 ← 122.59 m →
15 027 m²		 N 78.421296°
W 22.972412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436180114746094 y=0.135719299316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436180114746094 × 216)
    floor (0.436180114746094 × 65536)
    floor (28585.5)     		tx = 28585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135719299316406 × 216)
    floor (0.135719299316406 × 65536)
    floor (8894.5)     		ty = 8894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28585 / 8894 ti = "16/28585/8894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28585/8894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28585 ÷ 216
    28585 ÷ 65536     		x = 0.436172485351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8894 ÷ 216
    8894 ÷ 65536     		y = 0.135711669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436172485351562 × 2 - 1) × π
    -0.127655029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40104010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135711669921875 × 2 - 1) × π
    0.72857666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28889108305844
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40104010} λ = -0.40104010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28889108305844))-π/2
    2×atan(9.86399326482757)-π/2
    2×1.46976269294446-π/2
    2.93952538588892-1.57079632675     		φ = 1.36872906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40104010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.977905°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36872906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.422398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28585 KachelY 8894 -0.40104010 1.36872906 -22.977905 78.422398
    Oben rechts KachelX + 1 28586 KachelY 8894 -0.40094423 1.36872906 -22.972412 78.422398
    Unten links KachelX 28585 KachelY + 1 8895 -0.40104010 1.36870982 -22.977905 78.421296
    Unten rechts KachelX + 1 28586 KachelY + 1 8895 -0.40094423 1.36870982 -22.972412 78.421296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36872906-1.36870982) × R
    1.92399999998649e-05 × 6371000     		dl = 122.578039999139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36872906-1.36870982) × R
    1.92399999998649e-05 × 6371000     		dr = 122.578039999139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40104010--0.40094423) × cos(1.36872906) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.200694963929449 × 6371000     		do = 122.582029468696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40104010--0.40094423) × cos(1.36870982) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.200713812431056 × 6371000     		du = 122.59354190296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36872906)-sin(1.36870982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200694963929449-0.200713812431056)×R²
    abs(-0.40094423--0.40104010)×1.88485016068829e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.88485016068829e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.88485016068829e-05×40589641000000     		ar = 15026.5704977747m²