Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28584 / 8836
↖ ↑ ↗
← N 78.486167°
W 22.983399°		 ← 121.93 m → N 78.486167°
W 22.977905°		 →
↑
121.94 m
↓
↑
121.94 m
↓
N 78.485070°
W 22.983399°		 ← 121.94 m →
14 869 m²		 N 78.485070°
W 22.977905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436164855957031 y=0.134834289550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436164855957031 × 216)
    floor (0.436164855957031 × 65536)
    floor (28584.5)     		tx = 28584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134834289550781 × 216)
    floor (0.134834289550781 × 65536)
    floor (8836.5)     		ty = 8836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28584 / 8836 ti = "16/28584/8836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28584/8836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28584 ÷ 216
    28584 ÷ 65536     		x = 0.4361572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8836 ÷ 216
    8836 ÷ 65536     		y = 0.13482666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4361572265625 × 2 - 1) × π
    -0.127685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40113598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13482666015625 × 2 - 1) × π
    0.7303466796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29445176341437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40113598} λ = -0.40113598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29445176341437))-π/2
    2×atan(9.91899656456001)-π/2
    2×1.47031917599487-π/2
    2.94063835198973-1.57079632675     		φ = 1.36984203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40113598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.983399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36984203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.486167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28584 KachelY 8836 -0.40113598 1.36984203 -22.983399 78.486167
    Oben rechts KachelX + 1 28585 KachelY 8836 -0.40104010 1.36984203 -22.977905 78.486167
    Unten links KachelX 28584 KachelY + 1 8837 -0.40113598 1.36982289 -22.983399 78.485070
    Unten rechts KachelX + 1 28585 KachelY + 1 8837 -0.40104010 1.36982289 -22.977905 78.485070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36984203-1.36982289) × R
    1.91400000000286e-05 × 6371000     		dl = 121.940940000182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36984203-1.36982289) × R
    1.91400000000286e-05 × 6371000     		dr = 121.940940000182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40113598--0.40104010) × cos(1.36984203) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.199604514584802 × 6371000     		do = 121.928713148799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40113598--0.40104010) × cos(1.36982289) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.199623269385255 × 6371000     		du = 121.940169546413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36984203)-sin(1.36982289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199604514584802-0.199623269385255)×R²
    abs(-0.40104010--0.40113598)×1.87548004531579e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.87548004531579e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.87548004531579e-05×40589641000000     		ar = 14868.8003966373m²