Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28584 / 22680
↖ ↑ ↗
← N 48.370847°
W 22.983399°		 ← 405.79 m → N 48.370847°
W 22.977905°		 →
↑
405.77 m
↓
↑
405.77 m
↓
N 48.367198°
W 22.983399°		 ← 405.82 m →
164 664 m²		 N 48.367198°
W 22.977905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436164855957031 y=0.346076965332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436164855957031 × 216)
    floor (0.436164855957031 × 65536)
    floor (28584.5)     		tx = 28584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346076965332031 × 216)
    floor (0.346076965332031 × 65536)
    floor (22680.5)     		ty = 22680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28584 / 22680 ti = "16/28584/22680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28584/22680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28584 ÷ 216
    28584 ÷ 65536     		x = 0.4361572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22680 ÷ 216
    22680 ÷ 65536     		y = 0.3460693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4361572265625 × 2 - 1) × π
    -0.127685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40113598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3460693359375 × 2 - 1) × π
    0.307861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.967174886734253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40113598} λ = -0.40113598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.967174886734253))-π/2
    2×atan(2.63050248462819)-π/2
    2×1.20751344058193-π/2
    2.41502688116386-1.57079632675     		φ = 0.84423055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40113598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.983399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84423055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.370847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28584 KachelY 22680 -0.40113598 0.84423055 -22.983399 48.370847
    Oben rechts KachelX + 1 28585 KachelY 22680 -0.40104010 0.84423055 -22.977905 48.370847
    Unten links KachelX 28584 KachelY + 1 22681 -0.40113598 0.84416686 -22.983399 48.367198
    Unten rechts KachelX + 1 28585 KachelY + 1 22681 -0.40104010 0.84416686 -22.977905 48.367198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84423055-0.84416686) × R
    6.36900000000606e-05 × 6371000     		dl = 405.768990000386m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84423055-0.84416686) × R
    6.36900000000606e-05 × 6371000     		dr = 405.768990000386m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40113598--0.40104010) × cos(0.84423055) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.664306612320225 × 6371000     		do = 405.792677309565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40113598--0.40104010) × cos(0.84416686) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.664354216711882 × 6371000     		du = 405.821756522662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84423055)-sin(0.84416686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664306612320225-0.664354216711882)×R²
    abs(-0.40104010--0.40113598)×4.76043916565194e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76043916565194e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76043916565194e-05×40589641000000     		ar = 164663.98459873m²