Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28583 / 22663
↖ ↑ ↗
← N 48.432845°
W 22.988892°		 ← 405.26 m → N 48.432845°
W 22.983399°		 →
↑
405.32 m
↓
↑
405.32 m
↓
N 48.429200°
W 22.988892°		 ← 405.29 m →
164 266 m²		 N 48.429200°
W 22.983399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436149597167969 y=0.345817565917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436149597167969 × 216)
    floor (0.436149597167969 × 65536)
    floor (28583.5)     		tx = 28583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345817565917969 × 216)
    floor (0.345817565917969 × 65536)
    floor (22663.5)     		ty = 22663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28583 / 22663 ti = "16/28583/22663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28583/22663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28583 ÷ 216
    28583 ÷ 65536     		x = 0.436141967773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22663 ÷ 216
    22663 ÷ 65536     		y = 0.345809936523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436141967773438 × 2 - 1) × π
    -0.127716064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40123185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345809936523438 × 2 - 1) × π
    0.308380126953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.968804741321335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40123185} λ = -0.40123185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.968804741321335))-π/2
    2×atan(2.63479331693559)-π/2
    2×1.20805447243993-π/2
    2.41610894487985-1.57079632675     		φ = 0.84531262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40123185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.988892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84531262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.432845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28583 KachelY 22663 -0.40123185 0.84531262 -22.988892 48.432845
    Oben rechts KachelX + 1 28584 KachelY 22663 -0.40113598 0.84531262 -22.983399 48.432845
    Unten links KachelX 28583 KachelY + 1 22664 -0.40123185 0.84524900 -22.988892 48.429200
    Unten rechts KachelX + 1 28584 KachelY + 1 22664 -0.40113598 0.84524900 -22.983399 48.429200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84531262-0.84524900) × R
    6.3619999999931e-05 × 6371000     		dl = 405.32301999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84531262-0.84524900) × R
    6.3619999999931e-05 × 6371000     		dr = 405.32301999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40123185--0.40113598) × cos(0.84531262) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.663497419327964 × 6371000     		do = 405.256109152073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40123185--0.40113598) × cos(0.84524900) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.663545017105883 × 6371000     		du = 405.285181292705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84531262)-sin(0.84524900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663497419327964-0.663545017105883)×R²
    abs(-0.40113598--0.40123185)×4.75977779191838e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75977779191838e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75977779191838e-05×40589641000000     		ar = 164265.521894115m²