Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28583 / 19376
↖ ↑ ↗
← N 59.040555°
W 22.988892°		 ← 314.21 m → N 59.040555°
W 22.983399°		 →
↑
314.22 m
↓
↑
314.22 m
↓
N 59.037729°
W 22.988892°		 ← 314.23 m →
98 734 m²		 N 59.037729°
W 22.983399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436149597167969 y=0.295661926269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436149597167969 × 216)
    floor (0.436149597167969 × 65536)
    floor (28583.5)     		tx = 28583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295661926269531 × 216)
    floor (0.295661926269531 × 65536)
    floor (19376.5)     		ty = 19376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28583 / 19376 ti = "16/28583/19376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28583/19376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28583 ÷ 216
    28583 ÷ 65536     		x = 0.436141967773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19376 ÷ 216
    19376 ÷ 65536     		y = 0.295654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436141967773438 × 2 - 1) × π
    -0.127716064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40123185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295654296875 × 2 - 1) × π
    0.40869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28394191942358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40123185} λ = -0.40123185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28394191942358))-π/2
    2×atan(3.61084536992103)-π/2
    2×1.300624198521-π/2
    2.60124839704199-1.57079632675     		φ = 1.03045207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40123185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.988892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03045207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.040555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28583 KachelY 19376 -0.40123185 1.03045207 -22.988892 59.040555
    Oben rechts KachelX + 1 28584 KachelY 19376 -0.40113598 1.03045207 -22.983399 59.040555
    Unten links KachelX 28583 KachelY + 1 19377 -0.40123185 1.03040275 -22.988892 59.037729
    Unten rechts KachelX + 1 28584 KachelY + 1 19377 -0.40113598 1.03040275 -22.983399 59.037729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03045207-1.03040275) × R
    4.93200000000193e-05 × 6371000     		dl = 314.217720000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03045207-1.03040275) × R
    4.93200000000193e-05 × 6371000     		dr = 314.217720000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40123185--0.40113598) × cos(1.03045207) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.51443123322305 × 6371000     		do = 314.20830575865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40123185--0.40113598) × cos(1.03040275) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.51447352605764 × 6371000     		du = 314.234137704776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03045207)-sin(1.03040275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51443123322305-0.51447352605764)×R²
    abs(-0.40113598--0.40123185)×4.22928345900075e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.22928345900075e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.22928345900075e-05×40589641000000     		ar = 98733.8758883397m²