Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 28581 / 4515
↖ ↑ ↗
← N 78.271504°
E134.000244°		 ← 248.33 m → N 78.271504°
E134.011231°		 →
↑
248.34 m
↓
↑
248.34 m
↓
N 78.269270°
E134.000244°		 ← 248.37 m →
61 676 m²		 N 78.269270°
E134.011231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872238159179688 y=0.137802124023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872238159179688 × 215)
    floor (0.872238159179688 × 32768)
    floor (28581.5)     		tx = 28581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137802124023438 × 215)
    floor (0.137802124023438 × 32768)
    floor (4515.5)     		ty = 4515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28581 / 4515 ti = "15/28581/4515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28581/4515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28581 ÷ 215
    28581 ÷ 32768     		x = 0.872222900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4515 ÷ 215
    4515 ÷ 32768     		y = 0.137786865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872222900390625 × 2 - 1) × π
    0.74444580078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.33874546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137786865234375 × 2 - 1) × π
    0.72442626953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.27585224636179
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33874546} λ = 2.33874546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27585224636179))-π/2
    2×atan(9.73621312995976)-π/2
    2×1.46844588778517-π/2
    2.93689177557034-1.57079632675     		φ = 1.36609545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33874546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.000244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36609545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.271504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28581 KachelY 4515 2.33874546 1.36609545 134.000244 78.271504
    Oben rechts KachelX + 1 28582 KachelY 4515 2.33893721 1.36609545 134.011231 78.271504
    Unten links KachelX 28581 KachelY + 1 4516 2.33874546 1.36605647 134.000244 78.269270
    Unten rechts KachelX + 1 28582 KachelY + 1 4516 2.33893721 1.36605647 134.011231 78.269270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36609545-1.36605647) × R
    3.89800000000218e-05 × 6371000     		dl = 248.341580000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36609545-1.36605647) × R
    3.89800000000218e-05 × 6371000     		dr = 248.341580000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33874546-2.33893721) × cos(1.36609545) × R
    0.000191749999999935 × 0.20327429094241 × 6371000     		do = 248.327852331083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33874546-2.33893721) × cos(1.36605647) × R
    0.000191749999999935 × 0.203312456956995 × 6371000     		du = 248.374477432516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36609545)-sin(1.36605647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20327429094241-0.203312456956995)×R²
    abs(2.33893721-2.33874546)×3.8166014584895e-05×R²
    0.000191749999999935×3.8166014584895e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.8166014584895e-05×40589641000000     		ar = 61675.9206898116m²