Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28581 / 40587
↖ ↑ ↗
← S 39.414977°
W 22.999878°		 ← 471.92 m → S 39.414977°
W 22.994385°		 →
↑
471.90 m
↓
↑
471.90 m
↓
S 39.419221°
W 22.999878°		 ← 471.90 m →
222 694 m²		 S 39.419221°
W 22.994385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436119079589844 y=0.619316101074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436119079589844 × 216)
    floor (0.436119079589844 × 65536)
    floor (28581.5)     		tx = 28581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619316101074219 × 216)
    floor (0.619316101074219 × 65536)
    floor (40587.5)     		ty = 40587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28581 / 40587 ti = "16/28581/40587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28581/40587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28581 ÷ 216
    28581 ÷ 65536     		x = 0.436111450195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40587 ÷ 216
    40587 ÷ 65536     		y = 0.619308471679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436111450195312 × 2 - 1) × π
    -0.127777099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40142360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619308471679688 × 2 - 1) × π
    -0.238616943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.749637236258438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40142360} λ = -0.40142360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.749637236258438))-π/2
    2×atan(0.472537941283971)-π/2
    2×0.441437601563721-π/2
    0.882875203127442-1.57079632675     		φ = -0.68792112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40142360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.999878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68792112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.414977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28581 KachelY 40587 -0.40142360 -0.68792112 -22.999878 -39.414977
    Oben rechts KachelX + 1 28582 KachelY 40587 -0.40132772 -0.68792112 -22.994385 -39.414977
    Unten links KachelX 28581 KachelY + 1 40588 -0.40142360 -0.68799519 -22.999878 -39.419221
    Unten rechts KachelX + 1 28582 KachelY + 1 40588 -0.40132772 -0.68799519 -22.994385 -39.419221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68792112--0.68799519) × R
    7.40699999999261e-05 × 6371000     		dl = 471.899969999529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68792112--0.68799519) × R
    7.40699999999261e-05 × 6371000     		dr = 471.899969999529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40142360--0.40132772) × cos(-0.68792112) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.772567631898767 × 6371000     		do = 471.924081345421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40142360--0.40132772) × cos(-0.68799519) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.772520600330723 × 6371000     		du = 471.895352042475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68792112)-sin(-0.68799519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772567631898767-0.772520600330723)×R²
    abs(-0.40132772--0.40142360)×4.70315680435318e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.70315680435318e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.70315680435318e-05×40589641000000     		ar = 222694.181252375m²