Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28580 / 4395
↖ ↑ ↗
← N 78.536495°
E133.989258°		 ← 242.79 m → N 78.536495°
E134.000244°		 →
↑
242.80 m
↓
↑
242.80 m
↓
N 78.534311°
E133.989258°		 ← 242.84 m →
58 955 m²		 N 78.534311°
E134.000244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872207641601562 y=0.134140014648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872207641601562 × 215)
    floor (0.872207641601562 × 32768)
    floor (28580.5)     		tx = 28580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134140014648438 × 215)
    floor (0.134140014648438 × 32768)
    floor (4395.5)     		ty = 4395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28580 / 4395 ti = "15/28580/4395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28580/4395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28580 ÷ 215
    28580 ÷ 32768     		x = 0.8721923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4395 ÷ 215
    4395 ÷ 32768     		y = 0.134124755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8721923828125 × 2 - 1) × π
    0.744384765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.33855371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134124755859375 × 2 - 1) × π
    0.73175048828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.29886195817941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33855371} λ = 2.33855371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29886195817941))-π/2
    2×atan(9.96283787458274)-π/2
    2×1.47075837367313-π/2
    2.94151674734625-1.57079632675     		φ = 1.37072042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33855371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.989258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37072042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.536495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28580 KachelY 4395 2.33855371 1.37072042 133.989258 78.536495
    Oben rechts KachelX + 1 28581 KachelY 4395 2.33874546 1.37072042 134.000244 78.536495
    Unten links KachelX 28580 KachelY + 1 4396 2.33855371 1.37068231 133.989258 78.534311
    Unten rechts KachelX + 1 28581 KachelY + 1 4396 2.33874546 1.37068231 134.000244 78.534311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37072042-1.37068231) × R
    3.81099999999801e-05 × 6371000     		dl = 242.798809999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37072042-1.37068231) × R
    3.81099999999801e-05 × 6371000     		dr = 242.798809999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33855371-2.33874546) × cos(1.37072042) × R
    0.000191750000000379 × 0.198743723935348 × 6371000     		do = 242.793133851066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33855371-2.33874546) × cos(1.37068231) × R
    0.000191750000000379 × 0.198781073553476 × 6371000     		du = 242.838761610543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37072042)-sin(1.37068231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198743723935348-0.198781073553476)×R²
    abs(2.33874546-2.33855371)×3.73496181277078e-05×R²
    0.000191750000000379×3.73496181277078e-05×6371000²
    0.000191750000000379×3.73496181277078e-05×40589641000000     		ar = 58955.4231647599m²