Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28579 / 4532
↖ ↑ ↗
← N 78.233478°
E133.978271°		 ← 249.12 m → N 78.233478°
E133.989258°		 →
↑
249.17 m
↓
↑
249.17 m
↓
N 78.231237°
E133.978271°		 ← 249.17 m →
62 079 m²		 N 78.231237°
E133.989258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872177124023438 y=0.138320922851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872177124023438 × 215)
    floor (0.872177124023438 × 32768)
    floor (28579.5)     		tx = 28579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138320922851562 × 215)
    floor (0.138320922851562 × 32768)
    floor (4532.5)     		ty = 4532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28579 / 4532 ti = "15/28579/4532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28579/4532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28579 ÷ 215
    28579 ÷ 32768     		x = 0.872161865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4532 ÷ 215
    4532 ÷ 32768     		y = 0.1383056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872161865234375 × 2 - 1) × π
    0.74432373046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.33836196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1383056640625 × 2 - 1) × π
    0.723388671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27259253718762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33836196} λ = 2.33836196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27259253718762))-π/2
    2×atan(9.70452757759805)-π/2
    2×1.46811405099984-π/2
    2.93622810199968-1.57079632675     		φ = 1.36543178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33836196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.978271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36543178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.233478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28579 KachelY 4532 2.33836196 1.36543178 133.978271 78.233478
    Oben rechts KachelX + 1 28580 KachelY 4532 2.33855371 1.36543178 133.989258 78.233478
    Unten links KachelX 28579 KachelY + 1 4533 2.33836196 1.36539267 133.978271 78.231237
    Unten rechts KachelX + 1 28580 KachelY + 1 4533 2.33855371 1.36539267 133.989258 78.231237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36543178-1.36539267) × R
    3.91099999998978e-05 × 6371000     		dl = 249.169809999349m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36543178-1.36539267) × R
    3.91099999998978e-05 × 6371000     		dr = 249.169809999349m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33836196-2.33855371) × cos(1.36543178) × R
    0.000191749999999935 × 0.203924059914323 × 6371000     		do = 249.121635610605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33836196-2.33855371) × cos(1.36539267) × R
    0.000191749999999935 × 0.20396234792857 × 6371000     		du = 249.168409751613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36543178)-sin(1.36539267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203924059914323-0.20396234792857)×R²
    abs(2.33855371-2.33836196)×3.82880142465736e-05×R²
    0.000191749999999935×3.82880142465736e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.82880142465736e-05×40589641000000     		ar = 62079.4179719856m²