Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28579 / 4513
↖ ↑ ↗
← N 78.275969°
E133.978271°		 ← 248.23 m → N 78.275969°
E133.989258°		 →
↑
248.28 m
↓
↑
248.28 m
↓
N 78.273737°
E133.978271°		 ← 248.28 m →
61 637 m²		 N 78.273737°
E133.989258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872177124023438 y=0.137741088867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872177124023438 × 215)
    floor (0.872177124023438 × 32768)
    floor (28579.5)     		tx = 28579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137741088867188 × 215)
    floor (0.137741088867188 × 32768)
    floor (4513.5)     		ty = 4513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28579 / 4513 ti = "15/28579/4513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28579/4513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28579 ÷ 215
    28579 ÷ 32768     		x = 0.872161865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4513 ÷ 215
    4513 ÷ 32768     		y = 0.137725830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872161865234375 × 2 - 1) × π
    0.74432373046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.33836196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137725830078125 × 2 - 1) × π
    0.72454833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27623574155875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33836196} λ = 2.33836196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27623574155875))-π/2
    2×atan(9.73994763696866)-π/2
    2×1.46848485782562-π/2
    2.93696971565124-1.57079632675     		φ = 1.36617339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33836196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.978271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36617339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.275969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28579 KachelY 4513 2.33836196 1.36617339 133.978271 78.275969
    Oben rechts KachelX + 1 28580 KachelY 4513 2.33855371 1.36617339 133.989258 78.275969
    Unten links KachelX 28579 KachelY + 1 4514 2.33836196 1.36613442 133.978271 78.273737
    Unten rechts KachelX + 1 28580 KachelY + 1 4514 2.33855371 1.36613442 133.989258 78.273737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36617339-1.36613442) × R
    3.89699999998605e-05 × 6371000     		dl = 248.277869999111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36617339-1.36613442) × R
    3.89699999998605e-05 × 6371000     		dr = 248.277869999111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33836196-2.33855371) × cos(1.36617339) × R
    0.000191749999999935 × 0.203197977569462 × 6371000     		do = 248.23462491939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33836196-2.33855371) × cos(1.36613442) × R
    0.000191749999999935 × 0.203236134410259 × 6371000     		du = 248.281238813764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36617339)-sin(1.36613442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203197977569462-0.203236134410259)×R²
    abs(2.33855371-2.33836196)×3.81568407971655e-05×R²
    0.000191749999999935×3.81568407971655e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.81568407971655e-05×40589641000000     		ar = 61636.950541541m²