Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28579 / 22431
↖ ↑ ↗
← N 49.271389°
W 23.010865°		 ← 398.57 m → N 49.271389°
W 23.005371°		 →
↑
398.57 m
↓
↑
398.57 m
↓
N 49.267804°
W 23.010865°		 ← 398.60 m →
158 862 m²		 N 49.267804°
W 23.005371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436088562011719 y=0.342277526855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436088562011719 × 216)
    floor (0.436088562011719 × 65536)
    floor (28579.5)     		tx = 28579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342277526855469 × 216)
    floor (0.342277526855469 × 65536)
    floor (22431.5)     		ty = 22431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28579 / 22431 ti = "16/28579/22431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28579/22431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28579 ÷ 216
    28579 ÷ 65536     		x = 0.436080932617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22431 ÷ 216
    22431 ÷ 65536     		y = 0.342269897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436080932617188 × 2 - 1) × π
    -0.127838134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40161535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342269897460938 × 2 - 1) × π
    0.315460205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.991047462745041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40161535} λ = -0.40161535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.991047462745041))-π/2
    2×atan(2.69405491709474)-π/2
    2×1.21537214456311-π/2
    2.43074428912622-1.57079632675     		φ = 0.85994796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40161535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.010865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85994796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.271389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28579 KachelY 22431 -0.40161535 0.85994796 -23.010865 49.271389
    Oben rechts KachelX + 1 28580 KachelY 22431 -0.40151947 0.85994796 -23.005371 49.271389
    Unten links KachelX 28579 KachelY + 1 22432 -0.40161535 0.85988540 -23.010865 49.267804
    Unten rechts KachelX + 1 28580 KachelY + 1 22432 -0.40151947 0.85988540 -23.005371 49.267804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85994796-0.85988540) × R
    6.25599999999338e-05 × 6371000     		dl = 398.569759999578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85994796-0.85988540) × R
    6.25599999999338e-05 × 6371000     		dr = 398.569759999578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40161535--0.40151947) × cos(0.85994796) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.652476905407554 × 6371000     		do = 398.566483333994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40161535--0.40151947) × cos(0.85988540) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.652524312637287 × 6371000     		du = 398.595442110439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85994796)-sin(0.85988540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652476905407554-0.652524312637287)×R²
    abs(-0.40151947--0.40161535)×4.74072297326211e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.74072297326211e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.74072297326211e-05×40589641000000     		ar = 158862.318704392m²