Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28579 / 19180
↖ ↑ ↗
← N 59.589975°
W 23.010865°		 ← 309.20 m → N 59.589975°
W 23.005371°		 →
↑
309.25 m
↓
↑
309.25 m
↓
N 59.587194°
W 23.010865°		 ← 309.23 m →
95 625 m²		 N 59.587194°
W 23.005371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436088562011719 y=0.292671203613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436088562011719 × 216)
    floor (0.436088562011719 × 65536)
    floor (28579.5)     		tx = 28579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292671203613281 × 216)
    floor (0.292671203613281 × 65536)
    floor (19180.5)     		ty = 19180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28579 / 19180 ti = "16/28579/19180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28579/19180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28579 ÷ 216
    28579 ÷ 65536     		x = 0.436080932617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19180 ÷ 216
    19180 ÷ 65536     		y = 0.29266357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436080932617188 × 2 - 1) × π
    -0.127838134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40161535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29266357421875 × 2 - 1) × π
    0.4146728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30273318407465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40161535} λ = -0.40161535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30273318407465))-π/2
    2×atan(3.67933924869591)-π/2
    2×1.30541879679375-π/2
    2.6108375935875-1.57079632675     		φ = 1.04004127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40161535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.010865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04004127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.589975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28579 KachelY 19180 -0.40161535 1.04004127 -23.010865 59.589975
    Oben rechts KachelX + 1 28580 KachelY 19180 -0.40151947 1.04004127 -23.005371 59.589975
    Unten links KachelX 28579 KachelY + 1 19181 -0.40161535 1.03999273 -23.010865 59.587194
    Unten rechts KachelX + 1 28580 KachelY + 1 19181 -0.40151947 1.03999273 -23.005371 59.587194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04004127-1.03999273) × R
    4.85399999998748e-05 × 6371000     		dl = 309.248339999202m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04004127-1.03999273) × R
    4.85399999998748e-05 × 6371000     		dr = 309.248339999202m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40161535--0.40151947) × cos(1.04004127) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.50618466537923 × 6371000     		do = 309.203652000184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40161535--0.40151947) × cos(1.03999273) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.506226526898133 × 6371000     		du = 309.22922317096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04004127)-sin(1.03999273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.50618466537923-0.506226526898133)×R²
    abs(-0.40151947--0.40161535)×4.18615189029525e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.18615189029525e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.18615189029525e-05×40589641000000     		ar = 95624.6700428015m²