Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28578 / 4525
↖ ↑ ↗
← N 78.249150°
E133.967285°		 ← 248.78 m → N 78.249150°
E133.978271°		 →
↑
248.85 m
↓
↑
248.85 m
↓
N 78.246912°
E133.967285°		 ← 248.83 m →
61 915 m²		 N 78.246912°
E133.978271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872146606445312 y=0.138107299804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872146606445312 × 215)
    floor (0.872146606445312 × 32768)
    floor (28578.5)     		tx = 28578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138107299804688 × 215)
    floor (0.138107299804688 × 32768)
    floor (4525.5)     		ty = 4525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28578 / 4525 ti = "15/28578/4525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28578/4525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28578 ÷ 215
    28578 ÷ 32768     		x = 0.87213134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4525 ÷ 215
    4525 ÷ 32768     		y = 0.138092041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87213134765625 × 2 - 1) × π
    0.7442626953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.33817022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138092041015625 × 2 - 1) × π
    0.72381591796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27393477037698
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33817022} λ = 2.33817022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27393477037698))-π/2
    2×atan(9.71756206230186)-π/2
    2×1.46825081794444-π/2
    2.93650163588888-1.57079632675     		φ = 1.36570531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33817022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.967285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36570531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.249150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28578 KachelY 4525 2.33817022 1.36570531 133.967285 78.249150
    Oben rechts KachelX + 1 28579 KachelY 4525 2.33836196 1.36570531 133.978271 78.249150
    Unten links KachelX 28578 KachelY + 1 4526 2.33817022 1.36566625 133.967285 78.246912
    Unten rechts KachelX + 1 28579 KachelY + 1 4526 2.33836196 1.36566625 133.978271 78.246912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36570531-1.36566625) × R
    3.90599999999797e-05 × 6371000     		dl = 248.85125999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36570531-1.36566625) × R
    3.90599999999797e-05 × 6371000     		dr = 248.85125999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33817022-2.33836196) × cos(1.36570531) × R
    0.000191739999999996 × 0.203656270054293 × 6371000     		do = 248.781518065954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33817022-2.33836196) × cos(1.36566625) × R
    0.000191739999999996 × 0.203694511297118 × 6371000     		du = 248.828232632808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36570531)-sin(1.36566625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203656270054293-0.203694511297118)×R²
    abs(2.33836196-2.33817022)×3.82412428248102e-05×R²
    0.000191739999999996×3.82412428248102e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.82412428248102e-05×40589641000000     		ar = 61915.406732047m²