Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28578 / 4436
↖ ↑ ↗
← N 78.446627°
E133.967285°		 ← 244.66 m → N 78.446627°
E133.978271°		 →
↑
244.65 m
↓
↑
244.65 m
↓
N 78.444427°
E133.967285°		 ← 244.70 m →
59 860 m²		 N 78.444427°
E133.978271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872146606445312 y=0.135391235351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872146606445312 × 215)
    floor (0.872146606445312 × 32768)
    floor (28578.5)     		tx = 28578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135391235351562 × 215)
    floor (0.135391235351562 × 32768)
    floor (4436.5)     		ty = 4436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28578 / 4436 ti = "15/28578/4436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28578/4436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28578 ÷ 215
    28578 ÷ 32768     		x = 0.87213134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4436 ÷ 215
    4436 ÷ 32768     		y = 0.1353759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87213134765625 × 2 - 1) × π
    0.7442626953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.33817022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1353759765625 × 2 - 1) × π
    0.729248046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29100030664172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33817022} λ = 2.33817022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29100030664172))-π/2
    2×atan(9.88482058906739)-π/2
    2×1.46997412969252-π/2
    2.93994825938505-1.57079632675     		φ = 1.36915193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33817022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.967285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36915193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.446627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28578 KachelY 4436 2.33817022 1.36915193 133.967285 78.446627
    Oben rechts KachelX + 1 28579 KachelY 4436 2.33836196 1.36915193 133.978271 78.446627
    Unten links KachelX 28578 KachelY + 1 4437 2.33817022 1.36911353 133.967285 78.444427
    Unten rechts KachelX + 1 28579 KachelY + 1 4437 2.33836196 1.36911353 133.978271 78.444427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36915193-1.36911353) × R
    3.8399999999994e-05 × 6371000     		dl = 244.646399999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36915193-1.36911353) × R
    3.8399999999994e-05 × 6371000     		dr = 244.646399999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33817022-2.33836196) × cos(1.36915193) × R
    0.000191739999999996 × 0.200280679803206 × 6371000     		do = 244.657979582163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33817022-2.33836196) × cos(1.36911353) × R
    0.000191739999999996 × 0.200318301616303 × 6371000     		du = 244.703937468813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36915193)-sin(1.36911353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200280679803206-0.200318301616303)×R²
    abs(2.33836196-2.33817022)×3.76218130973827e-05×R²
    0.000191739999999996×3.76218130973827e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.76218130973827e-05×40589641000000     		ar = 59860.3156584436m²