Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28578 / 4396
↖ ↑ ↗
← N 78.534311°
E133.967285°		 ← 242.83 m → N 78.534311°
E133.978271°		 →
↑
242.86 m
↓
↑
242.86 m
↓
N 78.532127°
E133.967285°		 ← 242.87 m →
58 979 m²		 N 78.532127°
E133.978271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872146606445312 y=0.134170532226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872146606445312 × 215)
    floor (0.872146606445312 × 32768)
    floor (28578.5)     		tx = 28578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134170532226562 × 215)
    floor (0.134170532226562 × 32768)
    floor (4396.5)     		ty = 4396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28578 / 4396 ti = "15/28578/4396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28578/4396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28578 ÷ 215
    28578 ÷ 32768     		x = 0.87213134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4396 ÷ 215
    4396 ÷ 32768     		y = 0.1341552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87213134765625 × 2 - 1) × π
    0.7442626953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.33817022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1341552734375 × 2 - 1) × π
    0.731689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.29867021058093
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33817022} λ = 2.33817022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29867021058093))-π/2
    2×atan(9.96092770748708)-π/2
    2×1.47073931756682-π/2
    2.94147863513363-1.57079632675     		φ = 1.37068231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33817022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.967285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37068231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.534311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28578 KachelY 4396 2.33817022 1.37068231 133.967285 78.534311
    Oben rechts KachelX + 1 28579 KachelY 4396 2.33836196 1.37068231 133.978271 78.534311
    Unten links KachelX 28578 KachelY + 1 4397 2.33817022 1.37064419 133.967285 78.532127
    Unten rechts KachelX + 1 28579 KachelY + 1 4397 2.33836196 1.37064419 133.978271 78.532127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37068231-1.37064419) × R
    3.81200000001414e-05 × 6371000     		dl = 242.862520000901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37068231-1.37064419) × R
    3.81200000001414e-05 × 6371000     		dr = 242.862520000901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33817022-2.33836196) × cos(1.37068231) × R
    0.000191739999999996 × 0.198781073553476 × 6371000     		do = 242.826097267862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33817022-2.33836196) × cos(1.37064419) × R
    0.000191739999999996 × 0.198818432683263 × 6371000     		du = 242.871734267006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37068231)-sin(1.37064419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198781073553476-0.198818432683263)×R²
    abs(2.33836196-2.33817022)×3.73591297872233e-05×R²
    0.000191739999999996×3.73591297872233e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.73591297872233e-05×40589641000000     		ar = 58978.8996698621m²