Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28578 / 22429
↖ ↑ ↗
← N 49.278556°
W 23.016357°		 ← 398.47 m → N 49.278556°
W 23.010865°		 →
↑
398.44 m
↓
↑
398.44 m
↓
N 49.274973°
W 23.016357°		 ← 398.50 m →
158 772 m²		 N 49.274973°
W 23.010865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436073303222656 y=0.342247009277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436073303222656 × 216)
    floor (0.436073303222656 × 65536)
    floor (28578.5)     		tx = 28578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342247009277344 × 216)
    floor (0.342247009277344 × 65536)
    floor (22429.5)     		ty = 22429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28578 / 22429 ti = "16/28578/22429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28578/22429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28578 ÷ 216
    28578 ÷ 65536     		x = 0.436065673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22429 ÷ 216
    22429 ÷ 65536     		y = 0.342239379882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436065673828125 × 2 - 1) × π
    -0.12786865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40171122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342239379882812 × 2 - 1) × π
    0.315521240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.991239210343521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40171122} λ = -0.40171122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.991239210343521))-π/2
    2×atan(2.69457154518478)-π/2
    2×1.21543469545793-π/2
    2.43086939091587-1.57079632675     		φ = 0.86007306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40171122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.016357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86007306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.278556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28578 KachelY 22429 -0.40171122 0.86007306 -23.016357 49.278556
    Oben rechts KachelX + 1 28579 KachelY 22429 -0.40161535 0.86007306 -23.010865 49.278556
    Unten links KachelX 28578 KachelY + 1 22430 -0.40171122 0.86001052 -23.016357 49.274973
    Unten rechts KachelX + 1 28579 KachelY + 1 22430 -0.40161535 0.86001052 -23.010865 49.274973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86007306-0.86001052) × R
    6.25399999999443e-05 × 6371000     		dl = 398.442339999645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86007306-0.86001052) × R
    6.25399999999443e-05 × 6371000     		dr = 398.442339999645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40171122--0.40161535) × cos(0.86007306) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.652382098445178 × 6371000     		do = 398.467007097242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40171122--0.40161535) × cos(0.86001052) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.652429495624188 × 6371000     		du = 398.495956714514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86007306)-sin(0.86001052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652382098445178-0.652429495624188)×R²
    abs(-0.40161535--0.40171122)×4.73971790100336e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73971790100336e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73971790100336e-05×40589641000000     		ar = 158771.894148733m²