Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28577 / 4428
↖ ↑ ↗
← N 78.464217°
E133.956299°		 ← 244.30 m → N 78.464217°
E133.967285°		 →
↑
244.33 m
↓
↑
244.33 m
↓
N 78.462020°
E133.956299°		 ← 244.35 m →
59 696 m²		 N 78.462020°
E133.967285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872116088867188 y=0.135147094726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872116088867188 × 215)
    floor (0.872116088867188 × 32768)
    floor (28577.5)     		tx = 28577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135147094726562 × 215)
    floor (0.135147094726562 × 32768)
    floor (4428.5)     		ty = 4428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28577 / 4428 ti = "15/28577/4428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28577/4428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28577 ÷ 215
    28577 ÷ 32768     		x = 0.872100830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4428 ÷ 215
    4428 ÷ 32768     		y = 0.1351318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872100830078125 × 2 - 1) × π
    0.74420166015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.33797847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1351318359375 × 2 - 1) × π
    0.729736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.29253428742957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33797847} λ = 2.33797847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29253428742957))-π/2
    2×atan(9.8999953498624)-π/2
    2×1.4701276276707-π/2
    2.94025525534141-1.57079632675     		φ = 1.36945893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33797847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.956299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36945893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.464217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28577 KachelY 4428 2.33797847 1.36945893 133.956299 78.464217
    Oben rechts KachelX + 1 28578 KachelY 4428 2.33817022 1.36945893 133.967285 78.464217
    Unten links KachelX 28577 KachelY + 1 4429 2.33797847 1.36942058 133.956299 78.462020
    Unten rechts KachelX + 1 28578 KachelY + 1 4429 2.33817022 1.36942058 133.967285 78.462020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36945893-1.36942058) × R
    3.83499999998538e-05 × 6371000     		dl = 244.327849999068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36945893-1.36942058) × R
    3.83499999998538e-05 × 6371000     		dr = 244.327849999068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33797847-2.33817022) × cos(1.36945893) × R
    0.000191749999999935 × 0.199979890631359 × 6371000     		do = 244.303283605893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33797847-2.33817022) × cos(1.36942058) × R
    0.000191749999999935 × 0.200017465814358 × 6371000     		du = 244.34918692427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36945893)-sin(1.36942058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199979890631359-0.200017465814358)×R²
    abs(2.33817022-2.33797847)×3.75751829986004e-05×R²
    0.000191749999999935×3.75751829986004e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.75751829986004e-05×40589641000000     		ar = 59695.7037682116m²