Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28577 / 40588
↖ ↑ ↗
← S 39.419221°
W 23.021850°		 ← 471.85 m → S 39.419221°
W 23.016357°		 →
↑
471.84 m
↓
↑
471.84 m
↓
S 39.423464°
W 23.021850°		 ← 471.82 m →
222 627 m²		 S 39.423464°
W 23.016357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436058044433594 y=0.619331359863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436058044433594 × 216)
    floor (0.436058044433594 × 65536)
    floor (28577.5)     		tx = 28577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619331359863281 × 216)
    floor (0.619331359863281 × 65536)
    floor (40588.5)     		ty = 40588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28577 / 40588 ti = "16/28577/40588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28577/40588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28577 ÷ 216
    28577 ÷ 65536     		x = 0.436050415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40588 ÷ 216
    40588 ÷ 65536     		y = 0.61932373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436050415039062 × 2 - 1) × π
    -0.127899169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40180709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61932373046875 × 2 - 1) × π
    -0.2386474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.749733110057678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40180709} λ = -0.40180709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.749733110057678))-π/2
    2×atan(0.472492639447919)-π/2
    2×0.441400568194031-π/2
    0.882801136388062-1.57079632675     		φ = -0.68799519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40180709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.021850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68799519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.419221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28577 KachelY 40588 -0.40180709 -0.68799519 -23.021850 -39.419221
    Oben rechts KachelX + 1 28578 KachelY 40588 -0.40171122 -0.68799519 -23.016357 -39.419221
    Unten links KachelX 28577 KachelY + 1 40589 -0.40180709 -0.68806925 -23.021850 -39.423464
    Unten rechts KachelX + 1 28578 KachelY + 1 40589 -0.40171122 -0.68806925 -23.016357 -39.423464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68799519--0.68806925) × R
    7.40599999999869e-05 × 6371000     		dl = 471.836259999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68799519--0.68806925) × R
    7.40599999999869e-05 × 6371000     		dr = 471.836259999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40180709--0.40171122) × cos(-0.68799519) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.772520600330723 × 6371000     		do = 471.846134755053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40180709--0.40171122) × cos(-0.68806925) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.772473570874819 × 6371000     		du = 471.817409738557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68799519)-sin(-0.68806925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772520600330723-0.772473570874819)×R²
    abs(-0.40171122--0.40180709)×4.70294559044016e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70294559044016e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70294559044016e-05×40589641000000     		ar = 222627.338867843m²