Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28577 / 40533
↖ ↑ ↗
← S 39.185433°
W 23.021850°		 ← 473.42 m → S 39.185433°
W 23.016357°		 →
↑
473.43 m
↓
↑
473.43 m
↓
S 39.189691°
W 23.021850°		 ← 473.40 m →
224 126 m²		 S 39.189691°
W 23.016357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436058044433594 y=0.618492126464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436058044433594 × 216)
    floor (0.436058044433594 × 65536)
    floor (28577.5)     		tx = 28577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618492126464844 × 216)
    floor (0.618492126464844 × 65536)
    floor (40533.5)     		ty = 40533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28577 / 40533 ti = "16/28577/40533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28577/40533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28577 ÷ 216
    28577 ÷ 65536     		x = 0.436050415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40533 ÷ 216
    40533 ÷ 65536     		y = 0.618484497070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436050415039062 × 2 - 1) × π
    -0.127899169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40180709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618484497070312 × 2 - 1) × π
    -0.236968994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.744460051099472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40180709} λ = -0.40180709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.744460051099472))-π/2
    2×atan(0.474990701418827)-π/2
    2×0.443440749584709-π/2
    0.886881499169418-1.57079632675     		φ = -0.68391483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40180709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.021850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68391483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.185433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28577 KachelY 40533 -0.40180709 -0.68391483 -23.021850 -39.185433
    Oben rechts KachelX + 1 28578 KachelY 40533 -0.40171122 -0.68391483 -23.016357 -39.185433
    Unten links KachelX 28577 KachelY + 1 40534 -0.40180709 -0.68398914 -23.021850 -39.189691
    Unten rechts KachelX + 1 28578 KachelY + 1 40534 -0.40171122 -0.68398914 -23.016357 -39.189691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68391483--0.68398914) × R
    7.43100000000219e-05 × 6371000     		dl = 473.429010000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68391483--0.68398914) × R
    7.43100000000219e-05 × 6371000     		dr = 473.429010000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40180709--0.40171122) × cos(-0.68391483) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.775105148753559 × 6371000     		do = 473.424745322694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40180709--0.40171122) × cos(-0.68398914) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.775058195158094 × 6371000     		du = 473.396066640827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68391483)-sin(-0.68398914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775105148753559-0.775058195158094)×R²
    abs(-0.40171122--0.40180709)×4.69535954651379e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69535954651379e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69535954651379e-05×40589641000000     		ar = 224126.219930779m²