Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28576 / 4432
↖ ↑ ↗
← N 78.455425°
E133.945312°		 ← 244.49 m → N 78.455425°
E133.956299°		 →
↑
244.52 m
↓
↑
244.52 m
↓
N 78.453226°
E133.945312°		 ← 244.53 m →
59 787 m²		 N 78.453226°
E133.956299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872085571289062 y=0.135269165039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872085571289062 × 215)
    floor (0.872085571289062 × 32768)
    floor (28576.5)     		tx = 28576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135269165039062 × 215)
    floor (0.135269165039062 × 32768)
    floor (4432.5)     		ty = 4432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28576 / 4432 ti = "15/28576/4432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28576/4432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28576 ÷ 215
    28576 ÷ 32768     		x = 0.8720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4432 ÷ 215
    4432 ÷ 32768     		y = 0.13525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8720703125 × 2 - 1) × π
    0.744140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.33778672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13525390625 × 2 - 1) × π
    0.7294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29176729703564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33778672} λ = 2.33778672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29176729703564))-π/2
    2×atan(9.8924050597411)-π/2
    2×1.47005090751903-π/2
    2.94010181503807-1.57079632675     		φ = 1.36930549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33778672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.945312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36930549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.455425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28576 KachelY 4432 2.33778672 1.36930549 133.945312 78.455425
    Oben rechts KachelX + 1 28577 KachelY 4432 2.33797847 1.36930549 133.956299 78.455425
    Unten links KachelX 28576 KachelY + 1 4433 2.33778672 1.36926711 133.945312 78.453226
    Unten rechts KachelX + 1 28577 KachelY + 1 4433 2.33797847 1.36926711 133.956299 78.453226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36930549-1.36926711) × R
    3.83799999998935e-05 × 6371000     		dl = 244.518979999321m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36930549-1.36926711) × R
    3.83799999998935e-05 × 6371000     		dr = 244.518979999321m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33778672-2.33797847) × cos(1.36930549) × R
    0.000191749999999935 × 0.200130228788885 × 6371000     		do = 244.486942599898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33778672-2.33797847) × cos(1.36926711) × R
    0.000191749999999935 × 0.200167832187413 × 6371000     		du = 244.532880387474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36930549)-sin(1.36926711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200130228788885-0.200167832187413)×R²
    abs(2.33797847-2.33778672)×3.76033985280966e-05×R²
    0.000191749999999935×3.76033985280966e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.76033985280966e-05×40589641000000     		ar = 59787.3141653823m²