Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28576 / 22427
↖ ↑ ↗
← N 49.285724°
W 23.027344°		 ← 398.45 m → N 49.285724°
W 23.021850°		 →
↑
398.44 m
↓
↑
398.44 m
↓
N 49.282140°
W 23.027344°		 ← 398.48 m →
158 765 m²		 N 49.282140°
W 23.021850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436042785644531 y=0.342216491699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436042785644531 × 216)
    floor (0.436042785644531 × 65536)
    floor (28576.5)     		tx = 28576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342216491699219 × 216)
    floor (0.342216491699219 × 65536)
    floor (22427.5)     		ty = 22427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28576 / 22427 ti = "16/28576/22427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28576/22427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28576 ÷ 216
    28576 ÷ 65536     		x = 0.43603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22427 ÷ 216
    22427 ÷ 65536     		y = 0.342208862304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43603515625 × 2 - 1) × π
    -0.1279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40190297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342208862304688 × 2 - 1) × π
    0.315582275390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.991430957942001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40190297} λ = -0.40190297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.991430957942001))-π/2
    2×atan(2.69508827234651)-π/2
    2×1.21549723726329-π/2
    2.43099447452659-1.57079632675     		φ = 0.86019815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40190297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.027344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86019815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.285724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28576 KachelY 22427 -0.40190297 0.86019815 -23.027344 49.285724
    Oben rechts KachelX + 1 28577 KachelY 22427 -0.40180709 0.86019815 -23.021850 49.285724
    Unten links KachelX 28576 KachelY + 1 22428 -0.40190297 0.86013561 -23.027344 49.282140
    Unten rechts KachelX + 1 28577 KachelY + 1 22428 -0.40180709 0.86013561 -23.021850 49.282140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86019815-0.86013561) × R
    6.25399999999443e-05 × 6371000     		dl = 398.442339999645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86019815-0.86013561) × R
    6.25399999999443e-05 × 6371000     		dr = 398.442339999645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40190297--0.40180709) × cos(0.86019815) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.652287288852733 × 6371000     		do = 398.450655781079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40190297--0.40180709) × cos(0.86013561) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.652334691135227 × 6371000     		du = 398.479611535496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86019815)-sin(0.86013561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652287288852733-0.652334691135227)×R²
    abs(-0.40180709--0.40190297)×4.74022824936693e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.74022824936693e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.74022824936693e-05×40589641000000     		ar = 158765.380314707m²