Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28576 / 14874
↖ ↑ ↗
← N 69.607378°
W 23.027344°		 ← 212.85 m → N 69.607378°
W 23.021850°		 →
↑
212.86 m
↓
↑
212.86 m
↓
N 69.605464°
W 23.027344°		 ← 212.87 m →
45 309 m²		 N 69.605464°
W 23.021850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436042785644531 y=0.226966857910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436042785644531 × 216)
    floor (0.436042785644531 × 65536)
    floor (28576.5)     		tx = 28576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226966857910156 × 216)
    floor (0.226966857910156 × 65536)
    floor (14874.5)     		ty = 14874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28576 / 14874 ti = "16/28576/14874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28576/14874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28576 ÷ 216
    28576 ÷ 65536     		x = 0.43603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14874 ÷ 216
    14874 ÷ 65536     		y = 0.226959228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43603515625 × 2 - 1) × π
    -0.1279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40190297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226959228515625 × 2 - 1) × π
    0.54608154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71556576360257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40190297} λ = -0.40190297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71556576360257))-π/2
    2×atan(5.55982016659918)-π/2
    2×1.39283712620024-π/2
    2.78567425240049-1.57079632675     		φ = 1.21487793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40190297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.027344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21487793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.607378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28576 KachelY 14874 -0.40190297 1.21487793 -23.027344 69.607378
    Oben rechts KachelX + 1 28577 KachelY 14874 -0.40180709 1.21487793 -23.021850 69.607378
    Unten links KachelX 28576 KachelY + 1 14875 -0.40190297 1.21484452 -23.027344 69.605464
    Unten rechts KachelX + 1 28577 KachelY + 1 14875 -0.40180709 1.21484452 -23.021850 69.605464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21487793-1.21484452) × R
    3.34100000001225e-05 × 6371000     		dl = 212.855110000781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21487793-1.21484452) × R
    3.34100000001225e-05 × 6371000     		dr = 212.855110000781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40190297--0.40180709) × cos(1.21487793) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.348451350056807 × 6371000     		do = 212.852022890306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40190297--0.40180709) × cos(1.21484452) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.348482665952971 × 6371000     		du = 212.871152251825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21487793)-sin(1.21484452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348451350056807-0.348482665952971)×R²
    abs(-0.40180709--0.40190297)×3.13158961637861e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.13158961637861e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.13158961637861e-05×40589641000000     		ar = 45308.6766414551m²