Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28575 / 14875
↖ ↑ ↗
← N 69.605464°
W 23.032837°		 ← 212.85 m → N 69.605464°
W 23.027344°		 →
↑
212.92 m
↓
↑
212.92 m
↓
N 69.603549°
W 23.032837°		 ← 212.87 m →
45 322 m²		 N 69.603549°
W 23.027344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436027526855469 y=0.226982116699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436027526855469 × 216)
    floor (0.436027526855469 × 65536)
    floor (28575.5)     		tx = 28575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226982116699219 × 216)
    floor (0.226982116699219 × 65536)
    floor (14875.5)     		ty = 14875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28575 / 14875 ti = "16/28575/14875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28575/14875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28575 ÷ 216
    28575 ÷ 65536     		x = 0.436019897460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14875 ÷ 216
    14875 ÷ 65536     		y = 0.226974487304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436019897460938 × 2 - 1) × π
    -0.127960205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40199884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226974487304688 × 2 - 1) × π
    0.546051025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71546988980333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40199884} λ = -0.40199884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71546988980333))-π/2
    2×atan(5.55928715106823)-π/2
    2×1.3928204217721-π/2
    2.7856408435442-1.57079632675     		φ = 1.21484452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40199884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.032837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21484452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.605464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28575 KachelY 14875 -0.40199884 1.21484452 -23.032837 69.605464
    Oben rechts KachelX + 1 28576 KachelY 14875 -0.40190297 1.21484452 -23.027344 69.605464
    Unten links KachelX 28575 KachelY + 1 14876 -0.40199884 1.21481110 -23.032837 69.603549
    Unten rechts KachelX + 1 28576 KachelY + 1 14876 -0.40190297 1.21481110 -23.027344 69.603549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21484452-1.21481110) × R
    3.34200000000617e-05 × 6371000     		dl = 212.918820000393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21484452-1.21481110) × R
    3.34200000000617e-05 × 6371000     		dr = 212.918820000393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40199884--0.40190297) × cos(1.21484452) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348482665952971 × 6371000     		do = 212.848950421065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40199884--0.40190297) × cos(1.21481110) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348513990833184 × 6371000     		du = 212.868083274796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21484452)-sin(1.21481110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348482665952971-0.348513990833184)×R²
    abs(-0.40190297--0.40199884)×3.13248802133459e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13248802133459e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13248802133459e-05×40589641000000     		ar = 45321.5842385543m²