Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28574 / 4441
↖ ↑ ↗
← N 78.435621°
E133.923340°		 ← 244.89 m → N 78.435621°
E133.934326°		 →
↑
244.96 m
↓
↑
244.96 m
↓
N 78.433418°
E133.923340°		 ← 244.93 m →
59 995 m²		 N 78.433418°
E133.934326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872024536132812 y=0.135543823242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872024536132812 × 215)
    floor (0.872024536132812 × 32768)
    floor (28574.5)     		tx = 28574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135543823242188 × 215)
    floor (0.135543823242188 × 32768)
    floor (4441.5)     		ty = 4441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28574 / 4441 ti = "15/28574/4441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28574/4441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28574 ÷ 215
    28574 ÷ 32768     		x = 0.87200927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4441 ÷ 215
    4441 ÷ 32768     		y = 0.135528564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87200927734375 × 2 - 1) × π
    0.7440185546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.33740323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135528564453125 × 2 - 1) × π
    0.72894287109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.29004156864932
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33740323} λ = 2.33740323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29004156864932))-π/2
    2×atan(9.87534817752657)-π/2
    2×1.46987807624085-π/2
    2.9397561524817-1.57079632675     		φ = 1.36895983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33740323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.923340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36895983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.435621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28574 KachelY 4441 2.33740323 1.36895983 133.923340 78.435621
    Oben rechts KachelX + 1 28575 KachelY 4441 2.33759497 1.36895983 133.934326 78.435621
    Unten links KachelX 28574 KachelY + 1 4442 2.33740323 1.36892138 133.923340 78.433418
    Unten rechts KachelX + 1 28575 KachelY + 1 4442 2.33759497 1.36892138 133.934326 78.433418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36895983-1.36892138) × R
    3.84500000001342e-05 × 6371000     		dl = 244.964950000855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36895983-1.36892138) × R
    3.84500000001342e-05 × 6371000     		dr = 244.964950000855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33740323-2.33759497) × cos(1.36895983) × R
    0.000191739999999996 × 0.200468883884332 × 6371000     		do = 244.887885084195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33740323-2.33759497) × cos(1.36892138) × R
    0.000191739999999996 × 0.200506553203817 × 6371000     		du = 244.933901003486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36895983)-sin(1.36892138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200468883884332-0.200506553203817)×R²
    abs(2.33759497-2.33740323)×3.76693194844568e-05×R²
    0.000191739999999996×3.76693194844568e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.76693194844568e-05×40589641000000     		ar = 59994.5846765768m²