Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28574 / 20597
↖ ↑ ↗
← N 76.767459°
W101.519165°		 ← 69.90 m → N 76.767459°
W101.516419°		 →
↑
69.89 m
↓
↑
69.89 m
↓
N 76.766830°
W101.519165°		 ← 69.90 m →
4 885 m²		 N 76.766830°
W101.516419°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218006134033203 y=0.157146453857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218006134033203 × 217)
    floor (0.218006134033203 × 131072)
    floor (28574.5)     		tx = 28574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157146453857422 × 217)
    floor (0.157146453857422 × 131072)
    floor (20597.5)     		ty = 20597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28574 / 20597 ti = "17/28574/20597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28574/20597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28574 ÷ 217
    28574 ÷ 131072     		x = 0.218002319335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20597 ÷ 217
    20597 ÷ 131072     		y = 0.157142639160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218002319335938 × 2 - 1) × π
    -0.563995361328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.77184368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157142639160156 × 2 - 1) × π
    0.685714721679688 × 3.1415926535     		Φ = 2.1542363320257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77184368} λ = -1.77184368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1542363320257))-π/2
    2×atan(8.62130385075738)-π/2
    2×1.45532061904529-π/2
    2.91064123809057-1.57079632675     		φ = 1.33984491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77184368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.519165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33984491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.767459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28574 KachelY 20597 -1.77184368 1.33984491 -101.519165 76.767459
    Oben rechts KachelX + 1 28575 KachelY 20597 -1.77179575 1.33984491 -101.516419 76.767459
    Unten links KachelX 28574 KachelY + 1 20598 -1.77184368 1.33983394 -101.519165 76.766830
    Unten rechts KachelX + 1 28575 KachelY + 1 20598 -1.77179575 1.33983394 -101.516419 76.766830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33984491-1.33983394) × R
    1.09700000001656e-05 × 6371000     		dl = 69.8898700010548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33984491-1.33983394) × R
    1.09700000001656e-05 × 6371000     		dr = 69.8898700010548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77184368--1.77179575) × cos(1.33984491) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.228903782774341 × 6371000     		do = 69.8985237826945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77184368--1.77179575) × cos(1.33983394) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.228914461496676 × 6371000     		du = 69.9017846590245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33984491)-sin(1.33983394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228903782774341-0.228914461496676)×R²
    abs(-1.77179575--1.77184368)×1.06787223349836e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.06787223349836e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.06787223349836e-05×40589641000000     		ar = 4885.31269167087m²