Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28572 / 40492
↖ ↑ ↗
← S 39.010647°
W 23.049316°		 ← 474.60 m → S 39.010647°
W 23.043823°		 →
↑
474.64 m
↓
↑
474.64 m
↓
S 39.014916°
W 23.049316°		 ← 474.57 m →
225 257 m²		 S 39.014916°
W 23.043823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435981750488281 y=0.617866516113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435981750488281 × 216)
    floor (0.435981750488281 × 65536)
    floor (28572.5)     		tx = 28572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617866516113281 × 216)
    floor (0.617866516113281 × 65536)
    floor (40492.5)     		ty = 40492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28572 / 40492 ti = "16/28572/40492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28572/40492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28572 ÷ 216
    28572 ÷ 65536     		x = 0.43597412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40492 ÷ 216
    40492 ÷ 65536     		y = 0.61785888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43597412109375 × 2 - 1) × π
    -0.1280517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40228646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61785888671875 × 2 - 1) × π
    -0.2357177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.740529225330627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40228646} λ = -0.40228646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.740529225330627))-π/2
    2×atan(0.476861481554462)-π/2
    2×0.444966042213974-π/2
    0.889932084427948-1.57079632675     		φ = -0.68086424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40228646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.049316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68086424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.010647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28572 KachelY 40492 -0.40228646 -0.68086424 -23.049316 -39.010647
    Oben rechts KachelX + 1 28573 KachelY 40492 -0.40219059 -0.68086424 -23.043823 -39.010647
    Unten links KachelX 28572 KachelY + 1 40493 -0.40228646 -0.68093874 -23.049316 -39.014916
    Unten rechts KachelX + 1 28573 KachelY + 1 40493 -0.40219059 -0.68093874 -23.043823 -39.014916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68086424--0.68093874) × R
    7.44999999999774e-05 × 6371000     		dl = 474.639499999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68086424--0.68093874) × R
    7.44999999999774e-05 × 6371000     		dr = 474.639499999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40228646--0.40219059) × cos(-0.68086424) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.777029000346795 × 6371000     		do = 474.599810347138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40228646--0.40219059) × cos(-0.68093874) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.776982103062993 × 6371000     		du = 474.571166059746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68086424)-sin(-0.68093874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.777029000346795-0.776982103062993)×R²
    abs(-0.40219059--0.40228646)×4.68972838015835e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68972838015835e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68972838015835e-05×40589641000000     		ar = 225257.018932116m²