Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28572 / 21246
↖ ↑ ↗
← N 53.337434°
W 23.049316°		 ← 364.70 m → N 53.337434°
W 23.043823°		 →
↑
364.74 m
↓
↑
364.74 m
↓
N 53.334153°
W 23.049316°		 ← 364.73 m →
133 026 m²		 N 53.334153°
W 23.043823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435981750488281 y=0.324195861816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435981750488281 × 216)
    floor (0.435981750488281 × 65536)
    floor (28572.5)     		tx = 28572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324195861816406 × 216)
    floor (0.324195861816406 × 65536)
    floor (21246.5)     		ty = 21246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28572 / 21246 ti = "16/28572/21246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28572/21246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28572 ÷ 216
    28572 ÷ 65536     		x = 0.43597412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21246 ÷ 216
    21246 ÷ 65536     		y = 0.324188232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43597412109375 × 2 - 1) × π
    -0.1280517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40228646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324188232421875 × 2 - 1) × π
    0.35162353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10465791484457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40228646} λ = -0.40228646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10465791484457))-π/2
    2×atan(3.01819181357297)-π/2
    2×1.25085507740864-π/2
    2.50171015481727-1.57079632675     		φ = 0.93091383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40228646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.049316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93091383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.337434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28572 KachelY 21246 -0.40228646 0.93091383 -23.049316 53.337434
    Oben rechts KachelX + 1 28573 KachelY 21246 -0.40219059 0.93091383 -23.043823 53.337434
    Unten links KachelX 28572 KachelY + 1 21247 -0.40228646 0.93085658 -23.049316 53.334153
    Unten rechts KachelX + 1 28573 KachelY + 1 21247 -0.40219059 0.93085658 -23.043823 53.334153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93091383-0.93085658) × R
    5.72500000000087e-05 × 6371000     		dl = 364.739750000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93091383-0.93085658) × R
    5.72500000000087e-05 × 6371000     		dr = 364.739750000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40228646--0.40219059) × cos(0.93091383) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.597101188417518 × 6371000     		do = 364.702103337878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40228646--0.40219059) × cos(0.93085658) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.597147111438165 × 6371000     		du = 364.73015255725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93091383)-sin(0.93085658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597101188417518-0.597147111438165)×R²
    abs(-0.40219059--0.40228646)×4.59230206472094e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.59230206472094e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.59230206472094e-05×40589641000000     		ar = 133026.469364863m²