Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28572 / 20598
↖ ↑ ↗
← N 76.766830°
W101.524658°		 ← 69.92 m → N 76.766830°
W101.521912°		 →
↑
69.95 m
↓
↑
69.95 m
↓
N 76.766201°
W101.524658°		 ← 69.92 m →
4 891 m²		 N 76.766201°
W101.521912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.217990875244141 y=0.157154083251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.217990875244141 × 217)
    floor (0.217990875244141 × 131072)
    floor (28572.5)     		tx = 28572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157154083251953 × 217)
    floor (0.157154083251953 × 131072)
    floor (20598.5)     		ty = 20598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28572 / 20598 ti = "17/28572/20598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28572/20598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28572 ÷ 217
    28572 ÷ 131072     		x = 0.217987060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20598 ÷ 217
    20598 ÷ 131072     		y = 0.157150268554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.217987060546875 × 2 - 1) × π
    -0.56402587890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.77193956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157150268554688 × 2 - 1) × π
    0.685699462890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.15418839512608
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77193956} λ = -1.77193956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15418839512608))-π/2
    2×atan(8.62089058208558)-π/2
    2×1.45531513244848-π/2
    2.91063026489695-1.57079632675     		φ = 1.33983394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77193956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.524658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33983394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.766830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28572 KachelY 20598 -1.77193956 1.33983394 -101.524658 76.766830
    Oben rechts KachelX + 1 28573 KachelY 20598 -1.77189162 1.33983394 -101.521912 76.766830
    Unten links KachelX 28572 KachelY + 1 20599 -1.77193956 1.33982296 -101.524658 76.766201
    Unten rechts KachelX + 1 28573 KachelY + 1 20599 -1.77189162 1.33982296 -101.521912 76.766201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33983394-1.33982296) × R
    1.09799999998828e-05 × 6371000     		dl = 69.953579999253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33983394-1.33982296) × R
    1.09799999998828e-05 × 6371000     		dr = 69.953579999253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77193956--1.77189162) × cos(1.33983394) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.228914461496676 × 6371000     		do = 69.9163687996016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77193956--1.77189162) × cos(1.33982296) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.228925149925903 × 6371000     		du = 69.9196333210078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33983394)-sin(1.33982296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228914461496676-0.228925149925903)×R²
    abs(-1.77189162--1.77193956)×1.06884292272458e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.06884292272458e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.06884292272458e-05×40589641000000     		ar = 4891.01448054471m²