Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28571 / 15223
↖ ↑ ↗
← N 68.928786°
W 23.054810°		 ← 219.62 m → N 68.928786°
W 23.049316°		 →
↑
219.61 m
↓
↑
219.61 m
↓
N 68.926811°
W 23.054810°		 ← 219.64 m →
48 232 m²		 N 68.926811°
W 23.049316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435966491699219 y=0.232292175292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435966491699219 × 216)
    floor (0.435966491699219 × 65536)
    floor (28571.5)     		tx = 28571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232292175292969 × 216)
    floor (0.232292175292969 × 65536)
    floor (15223.5)     		ty = 15223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28571 / 15223 ti = "16/28571/15223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28571/15223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28571 ÷ 216
    28571 ÷ 65536     		x = 0.435958862304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15223 ÷ 216
    15223 ÷ 65536     		y = 0.232284545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435958862304688 × 2 - 1) × π
    -0.128082275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40238234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232284545898438 × 2 - 1) × π
    0.535430908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.68210580766777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40238234} λ = -0.40238234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68210580766777))-π/2
    2×atan(5.37686670496312)-π/2
    2×1.38691530048675-π/2
    2.7738306009735-1.57079632675     		φ = 1.20303427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40238234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.054810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20303427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.928786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28571 KachelY 15223 -0.40238234 1.20303427 -23.054810 68.928786
    Oben rechts KachelX + 1 28572 KachelY 15223 -0.40228646 1.20303427 -23.049316 68.928786
    Unten links KachelX 28571 KachelY + 1 15224 -0.40238234 1.20299980 -23.054810 68.926811
    Unten rechts KachelX + 1 28572 KachelY + 1 15224 -0.40228646 1.20299980 -23.049316 68.926811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20303427-1.20299980) × R
    3.44700000001197e-05 × 6371000     		dl = 219.608370000763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20303427-1.20299980) × R
    3.44700000001197e-05 × 6371000     		dr = 219.608370000763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40238234--0.40228646) × cos(1.20303427) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.359528032503454 × 6371000     		do = 219.618230756206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40238234--0.40228646) × cos(1.20299980) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.359560197428659 × 6371000     		du = 219.637878748372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20303427)-sin(1.20299980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359528032503454-0.359560197428659)×R²
    abs(-0.40228646--0.40238234)×3.21649252055245e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.21649252055245e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.21649252055245e-05×40589641000000     		ar = 48232.159115523m²