Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28570 / 40586
↖ ↑ ↗
← S 39.410733°
W 23.060303°		 ← 471.90 m → S 39.410733°
W 23.054810°		 →
↑
471.90 m
↓
↑
471.90 m
↓
S 39.414977°
W 23.060303°		 ← 471.87 m →
222 685 m²		 S 39.414977°
W 23.054810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435951232910156 y=0.619300842285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435951232910156 × 216)
    floor (0.435951232910156 × 65536)
    floor (28570.5)     		tx = 28570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619300842285156 × 216)
    floor (0.619300842285156 × 65536)
    floor (40586.5)     		ty = 40586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28570 / 40586 ti = "16/28570/40586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28570/40586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28570 ÷ 216
    28570 ÷ 65536     		x = 0.435943603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40586 ÷ 216
    40586 ÷ 65536     		y = 0.619293212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435943603515625 × 2 - 1) × π
    -0.12811279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40247821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619293212890625 × 2 - 1) × π
    -0.23858642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.749541362459198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40247821} λ = -0.40247821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.749541362459198))-π/2
    2×atan(0.47258324746349)-π/2
    2×0.441474637187826-π/2
    0.882949274375652-1.57079632675     		φ = -0.68784705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40247821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.060303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68784705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.410733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28570 KachelY 40586 -0.40247821 -0.68784705 -23.060303 -39.410733
    Oben rechts KachelX + 1 28571 KachelY 40586 -0.40238234 -0.68784705 -23.054810 -39.410733
    Unten links KachelX 28570 KachelY + 1 40587 -0.40247821 -0.68792112 -23.060303 -39.414977
    Unten rechts KachelX + 1 28571 KachelY + 1 40587 -0.40238234 -0.68792112 -23.054810 -39.414977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68784705--0.68792112) × R
    7.40700000000372e-05 × 6371000     		dl = 471.899970000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68784705--0.68792112) × R
    7.40700000000372e-05 × 6371000     		dr = 471.899970000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40247821--0.40238234) × cos(-0.68784705) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.772614659228223 × 6371000     		do = 471.903584779306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40247821--0.40238234) × cos(-0.68792112) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.772567631898767 × 6371000     		du = 471.874861061618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68784705)-sin(-0.68792112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772614659228223-0.772567631898767)×R²
    abs(-0.40238234--0.40247821)×4.70273294556067e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70273294556067e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70273294556067e-05×40589641000000     		ar = 222684.51024135m²