Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28570 / 21915
↖ ↑ ↗
← N 51.086273°
W 23.060303°		 ← 383.67 m → N 51.086273°
W 23.054810°		 →
↑
383.73 m
↓
↑
383.73 m
↓
N 51.082822°
W 23.060303°		 ← 383.69 m →
147 228 m²		 N 51.082822°
W 23.054810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435951232910156 y=0.334403991699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435951232910156 × 216)
    floor (0.435951232910156 × 65536)
    floor (28570.5)     		tx = 28570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334403991699219 × 216)
    floor (0.334403991699219 × 65536)
    floor (21915.5)     		ty = 21915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28570 / 21915 ti = "16/28570/21915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28570/21915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28570 ÷ 216
    28570 ÷ 65536     		x = 0.435943603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21915 ÷ 216
    21915 ÷ 65536     		y = 0.334396362304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435943603515625 × 2 - 1) × π
    -0.12811279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40247821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334396362304688 × 2 - 1) × π
    0.331207275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.04051834315294
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40247821} λ = -0.40247821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04051834315294))-π/2
    2×atan(2.83068389976129)-π/2
    2×1.23120999239814-π/2
    2.46241998479628-1.57079632675     		φ = 0.89162366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40247821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.060303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89162366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.086273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28570 KachelY 21915 -0.40247821 0.89162366 -23.060303 51.086273
    Oben rechts KachelX + 1 28571 KachelY 21915 -0.40238234 0.89162366 -23.054810 51.086273
    Unten links KachelX 28570 KachelY + 1 21916 -0.40247821 0.89156343 -23.060303 51.082822
    Unten rechts KachelX + 1 28571 KachelY + 1 21916 -0.40238234 0.89156343 -23.054810 51.082822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89162366-0.89156343) × R
    6.02299999999945e-05 × 6371000     		dl = 383.725329999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89162366-0.89156343) × R
    6.02299999999945e-05 × 6371000     		dr = 383.725329999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40247821--0.40238234) × cos(0.89162366) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.628149497164067 × 6371000     		do = 383.666030599453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40247821--0.40238234) × cos(0.89156343) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.628196360546435 × 6371000     		du = 383.694654180265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89162366)-sin(0.89156343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628149497164067-0.628196360546435)×R²
    abs(-0.40238234--0.40247821)×4.68633823678122e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68633823678122e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68633823678122e-05×40589641000000     		ar = 147227.866042804m²