Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28569 / 42441
↖ ↑ ↗
← S 46.833892°
W 23.065796°		 ← 417.85 m → S 46.833892°
W 23.060303°		 →
↑
417.87 m
↓
↑
417.87 m
↓
S 46.837650°
W 23.065796°		 ← 417.82 m →
174 602 m²		 S 46.837650°
W 23.060303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435935974121094 y=0.647605895996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435935974121094 × 216)
    floor (0.435935974121094 × 65536)
    floor (28569.5)     		tx = 28569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647605895996094 × 216)
    floor (0.647605895996094 × 65536)
    floor (42441.5)     		ty = 42441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28569 / 42441 ti = "16/28569/42441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28569/42441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28569 ÷ 216
    28569 ÷ 65536     		x = 0.435928344726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42441 ÷ 216
    42441 ÷ 65536     		y = 0.647598266601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435928344726562 × 2 - 1) × π
    -0.128143310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40257408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647598266601562 × 2 - 1) × π
    -0.295196533203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.927387260049606
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40257408} λ = -0.40257408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.927387260049606))-π/2
    2×atan(0.395585924479591)-π/2
    2×0.376695357282795-π/2
    0.753390714565591-1.57079632675     		φ = -0.81740561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40257408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.065796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81740561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.833892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28569 KachelY 42441 -0.40257408 -0.81740561 -23.065796 -46.833892
    Oben rechts KachelX + 1 28570 KachelY 42441 -0.40247821 -0.81740561 -23.060303 -46.833892
    Unten links KachelX 28569 KachelY + 1 42442 -0.40257408 -0.81747120 -23.065796 -46.837650
    Unten rechts KachelX + 1 28570 KachelY + 1 42442 -0.40247821 -0.81747120 -23.060303 -46.837650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81740561--0.81747120) × R
    6.55899999999487e-05 × 6371000     		dl = 417.873889999673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81740561--0.81747120) × R
    6.55899999999487e-05 × 6371000     		dr = 417.873889999673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40257408--0.40247821) × cos(-0.81740561) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.684115786622614 × 6371000     		do = 417.849555733013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40257408--0.40247821) × cos(-0.81747120) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.68406794554827 × 6371000     		du = 417.8203349899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81740561)-sin(-0.81747120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684115786622614-0.68406794554827)×R²
    abs(-0.40247821--0.40257408)×4.78410743438573e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78410743438573e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78410743438573e-05×40589641000000     		ar = 174602.314058769m²