Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28568 / 4401
↖ ↑ ↗
← N 78.523387°
E133.857422°		 ← 243.07 m → N 78.523387°
E133.868408°		 →
↑
243.12 m
↓
↑
243.12 m
↓
N 78.521200°
E133.857422°		 ← 243.11 m →
59 099 m²		 N 78.521200°
E133.868408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871841430664062 y=0.134323120117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871841430664062 × 215)
    floor (0.871841430664062 × 32768)
    floor (28568.5)     		tx = 28568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134323120117188 × 215)
    floor (0.134323120117188 × 32768)
    floor (4401.5)     		ty = 4401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28568 / 4401 ti = "15/28568/4401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28568/4401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28568 ÷ 215
    28568 ÷ 32768     		x = 0.871826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4401 ÷ 215
    4401 ÷ 32768     		y = 0.134307861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.871826171875 × 2 - 1) × π
    0.74365234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.33625274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134307861328125 × 2 - 1) × π
    0.73138427734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.29771147258853
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33625274} λ = 2.33625274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29771147258853))-π/2
    2×atan(9.95138236412717)-π/2
    2×1.47064398330164-π/2
    2.94128796660328-1.57079632675     		φ = 1.37049164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33625274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.857422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37049164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.523387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28568 KachelY 4401 2.33625274 1.37049164 133.857422 78.523387
    Oben rechts KachelX + 1 28569 KachelY 4401 2.33644449 1.37049164 133.868408 78.523387
    Unten links KachelX 28568 KachelY + 1 4402 2.33625274 1.37045348 133.857422 78.521200
    Unten rechts KachelX + 1 28569 KachelY + 1 4402 2.33644449 1.37045348 133.868408 78.521200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37049164-1.37045348) × R
    3.81600000001203e-05 × 6371000     		dl = 243.117360000767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37049164-1.37045348) × R
    3.81600000001203e-05 × 6371000     		dr = 243.117360000767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33625274-2.33644449) × cos(1.37049164) × R
    0.000191749999999935 × 0.19896793491319 × 6371000     		do = 243.067038781316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33625274-2.33644449) × cos(1.37045348) × R
    0.000191749999999935 × 0.19900533179729 × 6371000     		du = 243.112724282761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37049164)-sin(1.37045348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19896793491319-0.19900533179729)×R²
    abs(2.33644449-2.33625274)×3.73968841002881e-05×R²
    0.000191749999999935×3.73968841002881e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.73968841002881e-05×40589641000000     		ar = 59099.3702485468m²