Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28568 / 4390
↖ ↑ ↗
← N 78.547407°
E133.857422°		 ← 242.57 m → N 78.547407°
E133.868408°		 →
↑
242.54 m
↓
↑
242.54 m
↓
N 78.545226°
E133.857422°		 ← 242.61 m →
58 838 m²		 N 78.545226°
E133.868408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871841430664062 y=0.133987426757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871841430664062 × 215)
    floor (0.871841430664062 × 32768)
    floor (28568.5)     		tx = 28568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133987426757812 × 215)
    floor (0.133987426757812 × 32768)
    floor (4390.5)     		ty = 4390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28568 / 4390 ti = "15/28568/4390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28568/4390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28568 ÷ 215
    28568 ÷ 32768     		x = 0.871826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4390 ÷ 215
    4390 ÷ 32768     		y = 0.13397216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.871826171875 × 2 - 1) × π
    0.74365234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.33625274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13397216796875 × 2 - 1) × π
    0.7320556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.29982069617181
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33625274} λ = 2.33625274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29982069617181))-π/2
    2×atan(9.97239420604226)-π/2
    2×1.47085360050656-π/2
    2.94170720101313-1.57079632675     		φ = 1.37091087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33625274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.857422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37091087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.547407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28568 KachelY 4390 2.33625274 1.37091087 133.857422 78.547407
    Oben rechts KachelX + 1 28569 KachelY 4390 2.33644449 1.37091087 133.868408 78.547407
    Unten links KachelX 28568 KachelY + 1 4391 2.33625274 1.37087280 133.857422 78.545226
    Unten rechts KachelX + 1 28569 KachelY + 1 4391 2.33644449 1.37087280 133.868408 78.545226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37091087-1.37087280) × R
    3.80700000000012e-05 × 6371000     		dl = 242.543970000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37091087-1.37087280) × R
    3.80700000000012e-05 × 6371000     		dr = 242.543970000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33625274-2.33644449) × cos(1.37091087) × R
    0.000191749999999935 × 0.198557069524981 × 6371000     		do = 242.565109496613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33625274-2.33644449) × cos(1.37087280) × R
    0.000191749999999935 × 0.198594381381788 × 6371000     		du = 242.610691125379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37091087)-sin(1.37087280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198557069524981-0.198594381381788)×R²
    abs(2.33644449-2.33625274)×3.73118568071651e-05×R²
    0.000191749999999935×3.73118568071651e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.73118568071651e-05×40589641000000     		ar = 58838.2324225218m²