Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28567 / 42531
↖ ↑ ↗
← S 47.171044°
W 23.076782°		 ← 415.22 m → S 47.171044°
W 23.071289°		 →
↑
415.26 m
↓
↑
415.26 m
↓
S 47.174779°
W 23.076782°		 ← 415.19 m →
172 419 m²		 S 47.174779°
W 23.071289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435905456542969 y=0.648979187011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435905456542969 × 216)
    floor (0.435905456542969 × 65536)
    floor (28567.5)     		tx = 28567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648979187011719 × 216)
    floor (0.648979187011719 × 65536)
    floor (42531.5)     		ty = 42531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28567 / 42531 ti = "16/28567/42531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28567/42531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28567 ÷ 216
    28567 ÷ 65536     		x = 0.435897827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42531 ÷ 216
    42531 ÷ 65536     		y = 0.648971557617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435897827148438 × 2 - 1) × π
    -0.128204345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40276583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648971557617188 × 2 - 1) × π
    -0.297943115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.936015901981216
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40276583} λ = -0.40276583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.936015901981216))-π/2
    2×atan(0.392187239289805)-π/2
    2×0.373753147382093-π/2
    0.747506294764186-1.57079632675     		φ = -0.82329003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40276583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.076782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82329003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.171044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28567 KachelY 42531 -0.40276583 -0.82329003 -23.076782 -47.171044
    Oben rechts KachelX + 1 28568 KachelY 42531 -0.40266996 -0.82329003 -23.071289 -47.171044
    Unten links KachelX 28567 KachelY + 1 42532 -0.40276583 -0.82335521 -23.076782 -47.174779
    Unten rechts KachelX + 1 28568 KachelY + 1 42532 -0.40266996 -0.82335521 -23.071289 -47.174779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82329003--0.82335521) × R
    6.5179999999998e-05 × 6371000     		dl = 415.261779999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82329003--0.82335521) × R
    6.5179999999998e-05 × 6371000     		dr = 415.261779999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40276583--0.40266996) × cos(-0.82329003) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.679812027633771 × 6371000     		do = 415.2208723776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40276583--0.40266996) × cos(-0.82335521) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.679764224064391 × 6371000     		du = 415.19167454206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82329003)-sin(-0.82335521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679812027633771-0.679764224064391)×R²
    abs(-0.40266996--0.40276583)×4.78035693806111e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78035693806111e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78035693806111e-05×40589641000000     		ar = 172419.296245219m²