Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28567 / 15258
↖ ↑ ↗
← N 68.859555°
W 23.076782°		 ← 220.28 m → N 68.859555°
W 23.071289°		 →
↑
220.31 m
↓
↑
220.31 m
↓
N 68.857574°
W 23.076782°		 ← 220.30 m →
48 533 m²		 N 68.857574°
W 23.071289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435905456542969 y=0.232826232910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435905456542969 × 216)
    floor (0.435905456542969 × 65536)
    floor (28567.5)     		tx = 28567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232826232910156 × 216)
    floor (0.232826232910156 × 65536)
    floor (15258.5)     		ty = 15258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28567 / 15258 ti = "16/28567/15258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28567/15258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28567 ÷ 216
    28567 ÷ 65536     		x = 0.435897827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15258 ÷ 216
    15258 ÷ 65536     		y = 0.232818603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435897827148438 × 2 - 1) × π
    -0.128204345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40276583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232818603515625 × 2 - 1) × π
    0.53436279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.67875022469437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40276583} λ = -0.40276583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67875022469437))-π/2
    2×atan(5.35885442035688)-π/2
    2×1.38631114218831-π/2
    2.77262228437662-1.57079632675     		φ = 1.20182596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40276583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.076782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20182596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.859555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28567 KachelY 15258 -0.40276583 1.20182596 -23.076782 68.859555
    Oben rechts KachelX + 1 28568 KachelY 15258 -0.40266996 1.20182596 -23.071289 68.859555
    Unten links KachelX 28567 KachelY + 1 15259 -0.40276583 1.20179138 -23.076782 68.857574
    Unten rechts KachelX + 1 28568 KachelY + 1 15259 -0.40266996 1.20179138 -23.071289 68.857574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20182596-1.20179138) × R
    3.45800000001173e-05 × 6371000     		dl = 220.309180000747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20182596-1.20179138) × R
    3.45800000001173e-05 × 6371000     		dr = 220.309180000747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40276583--0.40266996) × cos(1.20182596) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.36065528525922 × 6371000     		do = 220.283837422188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40276583--0.40266996) × cos(1.20179138) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.360687537781316 × 6371000     		du = 220.303536868236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20182596)-sin(1.20179138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36065528525922-0.360687537781316)×R²
    abs(-0.40266996--0.40276583)×3.2252522096321e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.2252522096321e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.2252522096321e-05×40589641000000     		ar = 48532.7215789729m²