Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28566 / 4400
↖ ↑ ↗
← N 78.525573°
E133.835449°		 ← 243.02 m → N 78.525573°
E133.846435°		 →
↑
243.05 m
↓
↑
243.05 m
↓
N 78.523387°
E133.835449°		 ← 243.07 m →
59 073 m²		 N 78.523387°
E133.846435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871780395507812 y=0.134292602539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871780395507812 × 215)
    floor (0.871780395507812 × 32768)
    floor (28566.5)     		tx = 28566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134292602539062 × 215)
    floor (0.134292602539062 × 32768)
    floor (4400.5)     		ty = 4400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28566 / 4400 ti = "15/28566/4400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28566/4400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28566 ÷ 215
    28566 ÷ 32768     		x = 0.87176513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4400 ÷ 215
    4400 ÷ 32768     		y = 0.13427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87176513671875 × 2 - 1) × π
    0.7435302734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.33586924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13427734375 × 2 - 1) × π
    0.7314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.29790322018701
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33586924} λ = 2.33586924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29790322018701))-π/2
    2×atan(9.95329070075068)-π/2
    2×1.47066305732131-π/2
    2.94132611464262-1.57079632675     		φ = 1.37052979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33586924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.835449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37052979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.525573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28566 KachelY 4400 2.33586924 1.37052979 133.835449 78.525573
    Oben rechts KachelX + 1 28567 KachelY 4400 2.33606099 1.37052979 133.846435 78.525573
    Unten links KachelX 28566 KachelY + 1 4401 2.33586924 1.37049164 133.835449 78.523387
    Unten rechts KachelX + 1 28567 KachelY + 1 4401 2.33606099 1.37049164 133.846435 78.523387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37052979-1.37049164) × R
    3.81499999999591e-05 × 6371000     		dl = 243.053649999739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37052979-1.37049164) × R
    3.81499999999591e-05 × 6371000     		dr = 243.053649999739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33586924-2.33606099) × cos(1.37052979) × R
    0.000191749999999935 × 0.198930547539492 × 6371000     		do = 243.021364898152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33586924-2.33606099) × cos(1.37049164) × R
    0.000191749999999935 × 0.19896793491319 × 6371000     		du = 243.067038781316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37052979)-sin(1.37049164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198930547539492-0.19896793491319)×R²
    abs(2.33606099-2.33586924)×3.73873736984609e-05×R²
    0.000191749999999935×3.73873736984609e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.73873736984609e-05×40589641000000     		ar = 59072.7803752302m²