Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28565 / 8848
↖ ↑ ↗
← N 78.473001°
W 23.087769°		 ← 122.07 m → N 78.473001°
W 23.082275°		 →
↑
122.07 m
↓
↑
122.07 m
↓
N 78.471904°
W 23.087769°		 ← 122.08 m →
14 901 m²		 N 78.471904°
W 23.082275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435874938964844 y=0.135017395019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435874938964844 × 216)
    floor (0.435874938964844 × 65536)
    floor (28565.5)     		tx = 28565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135017395019531 × 216)
    floor (0.135017395019531 × 65536)
    floor (8848.5)     		ty = 8848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28565 / 8848 ti = "16/28565/8848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28565/8848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28565 ÷ 216
    28565 ÷ 65536     		x = 0.435867309570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8848 ÷ 216
    8848 ÷ 65536     		y = 0.135009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435867309570312 × 2 - 1) × π
    -0.128265380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40295758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135009765625 × 2 - 1) × π
    0.72998046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29330127782349
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40295758} λ = -0.40295758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29330127782349))-π/2
    2×atan(9.90759146389647)-π/2
    2×1.47020429018905-π/2
    2.94040858037811-1.57079632675     		φ = 1.36961225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40295758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.087769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36961225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.473001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28565 KachelY 8848 -0.40295758 1.36961225 -23.087769 78.473001
    Oben rechts KachelX + 1 28566 KachelY 8848 -0.40286170 1.36961225 -23.082275 78.473001
    Unten links KachelX 28565 KachelY + 1 8849 -0.40295758 1.36959309 -23.087769 78.471904
    Unten rechts KachelX + 1 28566 KachelY + 1 8849 -0.40286170 1.36959309 -23.082275 78.471904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36961225-1.36959309) × R
    1.91600000001291e-05 × 6371000     		dl = 122.068360000822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36961225-1.36959309) × R
    1.91600000001291e-05 × 6371000     		dr = 122.068360000822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40295758--0.40286170) × cos(1.36961225) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.19982966534522 × 6371000     		do = 122.066246824023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40295758--0.40286170) × cos(1.36959309) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.199848438863815 × 6371000     		du = 122.077714655642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36961225)-sin(1.36959309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19982966534522-0.199848438863815)×R²
    abs(-0.40286170--0.40295758)×1.8773518594889e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.8773518594889e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.8773518594889e-05×40589641000000     		ar = 14901.1264916041m²