Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28562 / 19378
↖ ↑ ↗
← N 59.034902°
W 23.104248°		 ← 314.26 m → N 59.034902°
W 23.098755°		 →
↑
314.28 m
↓
↑
314.28 m
↓
N 59.032076°
W 23.104248°		 ← 314.29 m →
98 770 m²		 N 59.032076°
W 23.098755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435829162597656 y=0.295692443847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435829162597656 × 216)
    floor (0.435829162597656 × 65536)
    floor (28562.5)     		tx = 28562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295692443847656 × 216)
    floor (0.295692443847656 × 65536)
    floor (19378.5)     		ty = 19378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28562 / 19378 ti = "16/28562/19378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28562/19378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28562 ÷ 216
    28562 ÷ 65536     		x = 0.435821533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19378 ÷ 216
    19378 ÷ 65536     		y = 0.295684814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435821533203125 × 2 - 1) × π
    -0.12835693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40324520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295684814453125 × 2 - 1) × π
    0.40863037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.2837501718251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40324520} λ = -0.40324520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2837501718251))-π/2
    2×atan(3.61015306536886)-π/2
    2×1.30057487398922-π/2
    2.60114974797845-1.57079632675     		φ = 1.03035342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40324520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.104248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03035342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.034902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28562 KachelY 19378 -0.40324520 1.03035342 -23.104248 59.034902
    Oben rechts KachelX + 1 28563 KachelY 19378 -0.40314933 1.03035342 -23.098755 59.034902
    Unten links KachelX 28562 KachelY + 1 19379 -0.40324520 1.03030409 -23.104248 59.032076
    Unten rechts KachelX + 1 28563 KachelY + 1 19379 -0.40314933 1.03030409 -23.098755 59.032076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03035342-1.03030409) × R
    4.93299999999586e-05 × 6371000     		dl = 314.281429999736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03035342-1.03030409) × R
    4.93299999999586e-05 × 6371000     		dr = 314.281429999736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40324520--0.40314933) × cos(1.03035342) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.514515826215601 × 6371000     		do = 314.25997412411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40324520--0.40314933) × cos(1.03030409) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.514558125121514 × 6371000     		du = 314.285809778526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03035342)-sin(1.03030409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514515826215601-0.514558125121514)×R²
    abs(-0.40314933--0.40324520)×4.22989059132295e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.22989059132295e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.22989059132295e-05×40589641000000     		ar = 98770.1339124848m²