Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28561 / 8849
↖ ↑ ↗
← N 78.471904°
W 23.109741°		 ← 122.06 m → N 78.471904°
W 23.104248°		 →
↑
122.07 m
↓
↑
122.07 m
↓
N 78.470806°
W 23.109741°		 ← 122.08 m →
14 901 m²		 N 78.470806°
W 23.104248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435813903808594 y=0.135032653808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435813903808594 × 216)
    floor (0.435813903808594 × 65536)
    floor (28561.5)     		tx = 28561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135032653808594 × 216)
    floor (0.135032653808594 × 65536)
    floor (8849.5)     		ty = 8849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28561 / 8849 ti = "16/28561/8849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28561/8849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28561 ÷ 216
    28561 ÷ 65536     		x = 0.435806274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8849 ÷ 216
    8849 ÷ 65536     		y = 0.135025024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435806274414062 × 2 - 1) × π
    -0.128387451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40334107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135025024414062 × 2 - 1) × π
    0.729949951171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29320540402425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40334107} λ = -0.40334107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29320540402425))-π/2
    2×atan(9.90664163099428)-π/2
    2×1.47019471052466-π/2
    2.94038942104933-1.57079632675     		φ = 1.36959309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40334107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.109741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36959309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.471904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28561 KachelY 8849 -0.40334107 1.36959309 -23.109741 78.471904
    Oben rechts KachelX + 1 28562 KachelY 8849 -0.40324520 1.36959309 -23.104248 78.471904
    Unten links KachelX 28561 KachelY + 1 8850 -0.40334107 1.36957393 -23.109741 78.470806
    Unten rechts KachelX + 1 28562 KachelY + 1 8850 -0.40324520 1.36957393 -23.104248 78.470806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36959309-1.36957393) × R
    1.9159999999907e-05 × 6371000     		dl = 122.068359999408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36959309-1.36957393) × R
    1.9159999999907e-05 × 6371000     		dr = 122.068359999408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40334107--0.40324520) × cos(1.36959309) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.199848438863815 × 6371000     		do = 122.064982311608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40334107--0.40324520) × cos(1.36957393) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.199867212309044 × 6371000     		du = 122.076448902355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36959309)-sin(1.36957393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199848438863815-0.199867212309044)×R²
    abs(-0.40324520--0.40334107)×1.87734452291866e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.87734452291866e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.87734452291866e-05×40589641000000     		ar = 14900.9720585695m²