Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28561 / 22673
↖ ↑ ↗
← N 48.396385°
W 23.109741°		 ← 405.55 m → N 48.396385°
W 23.104248°		 →
↑
405.58 m
↓
↑
405.58 m
↓
N 48.392738°
W 23.109741°		 ← 405.58 m →
164 487 m²		 N 48.392738°
W 23.104248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435813903808594 y=0.345970153808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435813903808594 × 216)
    floor (0.435813903808594 × 65536)
    floor (28561.5)     		tx = 28561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345970153808594 × 216)
    floor (0.345970153808594 × 65536)
    floor (22673.5)     		ty = 22673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28561 / 22673 ti = "16/28561/22673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28561/22673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28561 ÷ 216
    28561 ÷ 65536     		x = 0.435806274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22673 ÷ 216
    22673 ÷ 65536     		y = 0.345962524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435806274414062 × 2 - 1) × π
    -0.128387451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40334107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345962524414062 × 2 - 1) × π
    0.308074951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.967846003328934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40334107} λ = -0.40334107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.967846003328934))-π/2
    2×atan(2.63226845101636)-π/2
    2×1.20773629826814-π/2
    2.41547259653629-1.57079632675     		φ = 0.84467627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40334107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.109741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84467627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.396385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28561 KachelY 22673 -0.40334107 0.84467627 -23.109741 48.396385
    Oben rechts KachelX + 1 28562 KachelY 22673 -0.40324520 0.84467627 -23.104248 48.396385
    Unten links KachelX 28561 KachelY + 1 22674 -0.40334107 0.84461261 -23.109741 48.392738
    Unten rechts KachelX + 1 28562 KachelY + 1 22674 -0.40324520 0.84461261 -23.104248 48.392738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84467627-0.84461261) × R
    6.36600000000209e-05 × 6371000     		dl = 405.577860000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84467627-0.84461261) × R
    6.36600000000209e-05 × 6371000     		dr = 405.577860000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40334107--0.40324520) × cos(0.84467627) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.663973388390918 × 6371000     		do = 405.546825234624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40334107--0.40324520) × cos(0.84461261) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.664020989205378 × 6371000     		du = 405.575899229938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84467627)-sin(0.84461261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663973388390918-0.664020989205378)×R²
    abs(-0.40324520--0.40334107)×4.76008144593143e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76008144593143e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76008144593143e-05×40589641000000     		ar = 164486.709448866m²