Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28559 / 15239
↖ ↑ ↗
← N 68.897165°
W 23.120727°		 ← 219.91 m → N 68.897165°
W 23.115235°		 →
↑
219.93 m
↓
↑
219.93 m
↓
N 68.895187°
W 23.120727°		 ← 219.93 m →
48 366 m²		 N 68.895187°
W 23.115235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435783386230469 y=0.232536315917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435783386230469 × 216)
    floor (0.435783386230469 × 65536)
    floor (28559.5)     		tx = 28559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232536315917969 × 216)
    floor (0.232536315917969 × 65536)
    floor (15239.5)     		ty = 15239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28559 / 15239 ti = "16/28559/15239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28559/15239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28559 ÷ 216
    28559 ÷ 65536     		x = 0.435775756835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15239 ÷ 216
    15239 ÷ 65536     		y = 0.232528686523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435775756835938 × 2 - 1) × π
    -0.128448486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40353282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232528686523438 × 2 - 1) × π
    0.534942626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.68057182687993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40353282} λ = -0.40353282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68057182687993))-π/2
    2×atan(5.36862501765005)-π/2
    2×1.38663934850335-π/2
    2.77327869700671-1.57079632675     		φ = 1.20248237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40353282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.120727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20248237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.897165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28559 KachelY 15239 -0.40353282 1.20248237 -23.120727 68.897165
    Oben rechts KachelX + 1 28560 KachelY 15239 -0.40343695 1.20248237 -23.115235 68.897165
    Unten links KachelX 28559 KachelY + 1 15240 -0.40353282 1.20244785 -23.120727 68.895187
    Unten rechts KachelX + 1 28560 KachelY + 1 15240 -0.40343695 1.20244785 -23.115235 68.895187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20248237-1.20244785) × R
    3.45200000000379e-05 × 6371000     		dl = 219.926920000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20248237-1.20244785) × R
    3.45200000000379e-05 × 6371000     		dr = 219.926920000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40353282--0.40343695) × cos(1.20248237) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.360042974534232 × 6371000     		do = 219.909845519926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40353282--0.40343695) × cos(1.20244785) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.36007517926074 × 6371000     		du = 219.929515773013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20248237)-sin(1.20244785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360042974534232-0.36007517926074)×R²
    abs(-0.40343695--0.40353282)×3.22047265074454e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.22047265074454e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.22047265074454e-05×40589641000000     		ar = 48366.2580168362m²