Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28558 / 4466
↖ ↑ ↗
← N 78.380430°
E133.747558°		 ← 246.05 m → N 78.380430°
E133.758545°		 →
↑
246.05 m
↓
↑
246.05 m
↓
N 78.378218°
E133.747558°		 ← 246.10 m →
60 547 m²		 N 78.378218°
E133.758545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871536254882812 y=0.136306762695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871536254882812 × 215)
    floor (0.871536254882812 × 32768)
    floor (28558.5)     		tx = 28558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136306762695312 × 215)
    floor (0.136306762695312 × 32768)
    floor (4466.5)     		ty = 4466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28558 / 4466 ti = "15/28558/4466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28558/4466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28558 ÷ 215
    28558 ÷ 32768     		x = 0.87152099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4466 ÷ 215
    4466 ÷ 32768     		y = 0.13629150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87152099609375 × 2 - 1) × π
    0.7430419921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.33433526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13629150390625 × 2 - 1) × π
    0.7274169921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.28524787868732
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33433526} λ = 2.33433526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28524787868732))-π/2
    2×atan(9.82812210410947)-π/2
    2×1.46939645341045-π/2
    2.9387929068209-1.57079632675     		φ = 1.36799658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33433526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.747558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36799658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.380430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28558 KachelY 4466 2.33433526 1.36799658 133.747558 78.380430
    Oben rechts KachelX + 1 28559 KachelY 4466 2.33452701 1.36799658 133.758545 78.380430
    Unten links KachelX 28558 KachelY + 1 4467 2.33433526 1.36795796 133.747558 78.378218
    Unten rechts KachelX + 1 28559 KachelY + 1 4467 2.33452701 1.36795796 133.758545 78.378218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36799658-1.36795796) × R
    3.86199999999892e-05 × 6371000     		dl = 246.048019999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36799658-1.36795796) × R
    3.86199999999892e-05 × 6371000     		dr = 246.048019999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33433526-2.33452701) × cos(1.36799658) × R
    0.000191749999999935 × 0.201412486827972 × 6371000     		do = 246.053399349075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33433526-2.33452701) × cos(1.36795796) × R
    0.000191749999999935 × 0.201450315219313 × 6371000     		du = 246.099611996702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36799658)-sin(1.36795796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201412486827972-0.201450315219313)×R²
    abs(2.33452701-2.33433526)×3.7828391341338e-05×R²
    0.000191749999999935×3.7828391341338e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.7828391341338e-05×40589641000000     		ar = 60546.6369968395m²