Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28558 / 21122
↖ ↑ ↗
← N 53.742214°
W 23.126220°		 ← 361.23 m → N 53.742214°
W 23.120727°		 →
↑
361.30 m
↓
↑
361.30 m
↓
N 53.738965°
W 23.126220°		 ← 361.26 m →
130 518 m²		 N 53.738965°
W 23.120727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435768127441406 y=0.322303771972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435768127441406 × 216)
    floor (0.435768127441406 × 65536)
    floor (28558.5)     		tx = 28558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322303771972656 × 216)
    floor (0.322303771972656 × 65536)
    floor (21122.5)     		ty = 21122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28558 / 21122 ti = "16/28558/21122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28558/21122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28558 ÷ 216
    28558 ÷ 65536     		x = 0.435760498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21122 ÷ 216
    21122 ÷ 65536     		y = 0.322296142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435760498046875 × 2 - 1) × π
    -0.12847900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40362869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322296142578125 × 2 - 1) × π
    0.35540771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.11654626595035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40362869} λ = -0.40362869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11654626595035))-π/2
    2×atan(3.05428727016602)-π/2
    2×1.25438745221652-π/2
    2.50877490443304-1.57079632675     		φ = 0.93797858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40362869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.126220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93797858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.742214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28558 KachelY 21122 -0.40362869 0.93797858 -23.126220 53.742214
    Oben rechts KachelX + 1 28559 KachelY 21122 -0.40353282 0.93797858 -23.120727 53.742214
    Unten links KachelX 28558 KachelY + 1 21123 -0.40362869 0.93792187 -23.126220 53.738965
    Unten rechts KachelX + 1 28559 KachelY + 1 21123 -0.40353282 0.93792187 -23.120727 53.738965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93797858-0.93792187) × R
    5.67099999999598e-05 × 6371000     		dl = 361.299409999744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93797858-0.93792187) × R
    5.67099999999598e-05 × 6371000     		dr = 361.299409999744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40362869--0.40353282) × cos(0.93797858) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.591419233037247 × 6371000     		do = 361.231634481922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40362869--0.40353282) × cos(0.93792187) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.591464961002377 × 6371000     		du = 361.259564563771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93797858)-sin(0.93792187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591419233037247-0.591464961002377)×R²
    abs(-0.40353282--0.40362869)×4.5727965130582e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.5727965130582e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.5727965130582e-05×40589641000000     		ar = 130517.822007278m²