Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28557 / 19055
↖ ↑ ↗
← N 59.935752°
W 23.131714°		 ← 306.02 m → N 59.935752°
W 23.126220°		 →
↑
306 m
↓
↑
306 m
↓
N 59.933001°
W 23.131714°		 ← 306.04 m →
93 645 m²		 N 59.933001°
W 23.126220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435752868652344 y=0.290763854980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435752868652344 × 216)
    floor (0.435752868652344 × 65536)
    floor (28557.5)     		tx = 28557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.290763854980469 × 216)
    floor (0.290763854980469 × 65536)
    floor (19055.5)     		ty = 19055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28557 / 19055 ti = "16/28557/19055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28557/19055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28557 ÷ 216
    28557 ÷ 65536     		x = 0.435745239257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19055 ÷ 216
    19055 ÷ 65536     		y = 0.290756225585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435745239257812 × 2 - 1) × π
    -0.128509521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40372457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.290756225585938 × 2 - 1) × π
    0.418487548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.31471740897966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40372457} λ = -0.40372457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31471740897966))-π/2
    2×atan(3.72369855278077)-π/2
    2×1.30843627336746-π/2
    2.61687254673493-1.57079632675     		φ = 1.04607622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40372457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.131714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04607622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.935752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28557 KachelY 19055 -0.40372457 1.04607622 -23.131714 59.935752
    Oben rechts KachelX + 1 28558 KachelY 19055 -0.40362869 1.04607622 -23.126220 59.935752
    Unten links KachelX 28557 KachelY + 1 19056 -0.40372457 1.04602819 -23.131714 59.933001
    Unten rechts KachelX + 1 28558 KachelY + 1 19056 -0.40362869 1.04602819 -23.126220 59.933001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04607622-1.04602819) × R
    4.80300000000877e-05 × 6371000     		dl = 305.999130000559m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04607622-1.04602819) × R
    4.80300000000877e-05 × 6371000     		dr = 305.999130000559m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40372457--0.40362869) × cos(1.04607622) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.500970786752922 × 6371000     		do = 306.018746524763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40372457--0.40362869) × cos(1.04602819) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.501012354420296 × 6371000     		du = 306.044138195899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04607622)-sin(1.04602819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.500970786752922-0.501012354420296)×R²
    abs(-0.40362869--0.40372457)×4.15676673742871e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.15676673742871e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.15676673742871e-05×40589641000000     		ar = 93645.3551332438m²